função de distribuição empírica

Com base na tabela de frequências relativas acumuladas pode construir-se a função de distribuição empírica (no software é usado «cumulative») definida assim:

$$F_n(x) = \frac{\text{número de observações amostrais} \le x}{n}$$

tendo a amostra dimensão n.

A função $F_n(x)$ é construída com base numa amostra. Por isso não se diz que seja uma função que determina probabilidades mas antes a proporção de valores iguais ou inferiores a um dado x.

Exercise (1)

Se uma amostra é 0, 0, 0, 1, 2:

(a) qual a proporção de 0?

☞ proposta de resolução

Existem três zeros em cinco elementos da amostra. Assim 3/5 = 60%.

(b) qual o valor de $F_5(1)$?

☞ proposta de resolução

Existem 4 valores iguais ou inferiores a 1 e assim $F_5(1)$ = 4/5 = 80%.

(c) porque é que uma função de distribuição empírica não calcula probabilidades?

☞ proposta de resolução

• As função de distribuição determinam probabilidades porque respondem por toda a população.

• A função de distribuição empírica responde apenas por uma amostra porque é construída para essa amostra; ao depender de cada amostra não se pode determinar probabilidades sobre a população.

exemplo

Considere a amostra composta por 75 zeros, 15 uns, 8 dois, e 2 três. O gráfico seguinte mostra a função $F_n(x)$:

Exercise (2)

(a) O que é o n em $F_n(x)$ ?

☞ proposta de resolução

O n é a dimensão da amostra: n=100 (=75+15+8+2).

(b) Determine o valor de $F_n(1)$ e $F_n(1.5)$.

☞ proposta de resolução

$F_n(1)$ e $F_n(1.5)$ tem o valor 90%.

(c) Qual a proporção de valores iguais ou inferiores a 1.5?

☞ proposta de resolução

Como $F_n(1.5)=90\%$ então a proporção de valores iguais ou inferiores a 1.5 é 90%.

exercícios recomendados

☞ ex. 1.26 (*).