mediana amostral

A mediana é um valor que ocupa a posição central na amostra ordenada. Assim pode-se dizer, de forma incompleta mas facilmente memorizável, que

50% das observações são iguais ou inferiores ao valor mediano e 50% das observações são iguais ou superiores ao valor mediano.

A mediana é um valor real e denota-se por $m_e$.

exemplos

Se a amostra tiver

• dimensão ímpar: a mediana, $m_e$, coincide com a observação central

  • na amostra 1.2; 2.1; 2.1; 2.2; 2.4 a mediana é o valor 2.1.

• dimensão par, a mediana toma o valor da média das duas observações mais centrais.

  • na amostra 0.0; 0.7; 0.9; 1.6 a mediana é o valor 0.8 resultado de (0.7+0.9)/2.

Nota: existem outras definições de mediana.

como calcular

1. Primeiro, ordena-se a amostra.

2. A mediana é obtida pela expressão matemática:

$$\begin{split}m_e = \left\{ \begin{array}{l} x_{ ( \lfloor n/2 + 1 \rfloor ) }, \text{ com $n$ ímpar} \\ \displaystyle \frac{ x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)} }{2}, \text{ com $n$ par} \end{array} \right.\end{split}$$

em que é bem clara a importância da posição central da amostra em $n/2$.

Consideram-se dois casos: dados não agrupados e dados agrupados.

dados não agrupados

Com amostra de dimensão ímpar, a mediana, $m_e$, coincide com a observação central

• na amostra 1.2; 2.1; 2.1; 2.2; 2.4 a mediana é o valor 2.1.

mas para uma amostra maior pode ser útil seguir o seguinte detalhe rigoroso:

• $n=5$, então n é ímpar, e assim aplica-se $x_{ ( \lfloor n/2 + 1 \rfloor ) }$

• $n/2 = 2.5$, então $n/2 + 1 = 3.5$. Assim $\lfloor n/2 + 1 \rfloor = \lfloor 3.5 \rfloor = 3$

• a posição, na amostra ordenada, é a 3 e amostra ordenada, usando a notação rigorosa, é dada por

  • $x_{(1)}=1.2$, $x_{(2)}=2.1$, $x_{(3)}=2.1$, $x_{(4)}=2.2$, $x_{(5)}=2.4$

• Assim, $m_e = 2.1$

Com amostra de dimensão par, a mediana toma o valor da média das duas observações mais centrais.

• na amostra 0.0; 0.7; 0.9; 1.6 a mediana é o valor 0.8 resultado de (0.7+0.9)/2.

mas para uma amostra maior pode ser útil seguir o seguinte detalhe rigoroso:

• $n=4$, então n é par, e assim aplica-se $\frac{ x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)} }{2}$

• como $n/2 = 2$ então $m_e = (x_{(2)} + x_{(3)})/2$

• usando a notação rigorosa para amostras ordenadas:

  • $x_{(1)}=0.0$, $x_{(2)}=0.7$, $x_{(3)}=0.9$, $x_{(4)}=1.6$

• assim, $m_e = (0.7+0.9)/2 = 0.8$

dados agrupados

Considere-se uma amostra de dimensão $n=257$ de dados agrupados

observações:	0	1	2	3	4	5	6	8	9	13
que se repetem:	37	45	84	52	23	11	2	1	1	1

Sendo n ímpar,

• $n/2 = 128.5$, então $n/2 + 1 = 129.5$. Assim $\lfloor n/2 + 1 \rfloor = \lfloor 129.53.5 \rfloor = 129$

• $m_e = x_{(129)}$

Para obter a posição 129 podemos acumular as ocorrências:

definição matemática rigorosa

Dizer que $m_e$ é a mediana de uma amostra significa que pelo menos 50% dos dados são inferiores ou iguais a $m_e$ e pelo menos 50% dos dados são superiores ou iguais a $m_e$.

Comentários:

• Desta definição resulta que pode existir um só valor mediano ou uma infinidade de soluções.

Na amostra 1, 2, 3, 4:

• 2 é uma mediana pois 50% das observações são iguais ou inferiores a 2 e pelo menos 50% são iguais ou superiores a 2

• 2.5 é uma mediana pois 50% das observações são iguais ou inferiores a 2.5 e 50% são iguais ou superiores a 2.5

• 3 é uma mediana pois pelo menos 50% das observações são iguais ou inferiores a 3 e 50% são iguais ou superiores a 3

Na amostra 1, 2, 3, 4, 5 só existe um valor mediano:

• 3 é uma mediana pois pelo menos 50% das observações são iguais ou inferiores a 3 e pelo menos 50% são iguais ou superiores a 3

calculadora gráfica

Para obter a mediana amostral e outras medidas consulte as medidas amostrais.

avançado

A mediana é mais robusta que a média a erros ou a observações afastadas.