função de distribuição

Genericamente, uma distribuição é uma função que atribui probabilidades.

A função distribuição, representada por \(F(x)\), é o nome comum que se dá a funções que seguem a definição

\[F(x) = P(X \le x)\]

sendo válida tanto para v.a. discretas como contínuas.

Por exemplo, num dado equilibrado a probabilidade de sair um número igual ou inferior a 4 é dada por:

\[F(4) = 1/6+1/6+1/6+1/6 = 4 / 6 = 2/3\]

axiomas

Uma função distribuição, habitualmente representada por \(F(x)\), deve obedecer ao seguinte:

  • é uma função não-decrescente

    • pode ser constante em subintervalos mas em geral ela cresce;

  • \(0 \le F(x) \le 1\)

    • esta função determina a probabilidade \(P(X \le x)\), logo o resultado deve estar no intervalo \([0,\,1]\);

  • \(\lim_{x\to-\infty} F(x) = 0\) e \(\lim_{x\to+\infty} F(x) = 1\)

propriedades para a v.a. discreta

Seguem-se exemplos do caso discreto (em que a v.a. é tipicamente uma contagem) com possível aplicação a algumas calculadoras gráficas ou software.

  • «menor ou igual»

    • \(P(X \le 4) = F(4)\) (exemplo)

    • lower = \(-\infty\) e upper = \(4\)

      • estes limite são usados em algumas calculadoras gráficas

      • as noções \(-\infty\) e \(+\infty\) podem ser aproximados por \(\mp 10^{10}\)

    • \(P(X \le x) = F(x)\) (expressão matemática geral)

  • «estritamente menor»

    • \(P(X < 4) = P(X \le 3)=F(3)\)

    • lower = \(-\infty\) e upper = \(3\)

    • \(P(X < x) = P(X \le x-1)\)

  • «estritamente maior»

    • \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)= 1-F(4)\);

    • lower = \(5\) e upper = \(+\infty\);

    • \(P(X > x) = 1 - P(X \le x)\);

  • «maior ou igual»

    • \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 3)=1 - F(3)\);

    • \(P(X \ge x) = 1 - P(X < x-1)\).

  • «intervalo \(a \le X \le b\)», a e b inteiros

    • \(P(4 \le X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 3) = F(6) - F(3)\);

    • \(P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1) = F(b) - F(a-1)\);

  • «intervalo \(a \le X < b\)», a e b inteiros

    • \(P(4 \le X < 6) = P(X \le 5) - P(X \le 3) = F(5) - F(3)\);

    • \(P(a \le X < b) = P(X \le b-1) - P(X \le a-1) = F(b-1) - F(a-1)\);

  • «intervalo \(a < X \le b\)», a e b inteiros

    • \(P(4 < X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4)\);

    • \(P(a < X \le b) = P(X \le b-1) - P(X \le a-1) = F(b-1) - F(a-1)\);

propriedades para a v.a. contínua

Numa distribuição contínua são as áreas que determinam a probabilidade. Quando não há área então a probabilidade é zero como é o caso de

  • \(P(X=a)=0\)

que pode ser compreendido como «baixo do ponto a não há área» e então a probabilidade é zero.

As seguintes probabilidade surgem então simplificadas:

  • «menor ou igual» (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(X \le 4) = F(4)\) (aqui o «4» é um mero exemplo)

    • lower = \(-\infty\) e upper = \(4\)

      • estes limite são usados em algumas calculadoras gráficas

      • as noções \(-\infty\) e \(+\infty\) podem ser aproximados por \(\mp 10^{10}\)

    • \(P(X \le x) = F(x)\) (F(x) é uma notação mais simples para P(X <= x)).

  • «estritamente menor» (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(X < 4) = P(X \le 4)=F(4)\)

    • lower = \(-\infty\) e upper = \(4\)

    • \(P(X < x) = P(X \le x)\)

  • «estritamente maior» (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)= 1-F(4)\);

    • lower = \(4\) e upper = \(+\infty\) ;

    • \(P(X > x) = 1 - P(X \le x)\) ;

  • «maior ou igual» (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)=1 - F(4)\);

    • \(P(X \ge x) = 1 - P(X < x) = 1 - P(X \le x)\).

  • «intervalos \(a \le X \le b\)», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(4 \le X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4)\);

    • \(P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\);

  • «intervalo \(a \le X < b\)», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(4 \le X < 6) = P(X \le 4) - P(X \le 3) = F(6) - F(4)\);

    • \(P(a \le X < b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\);

  • «intervalo \(a < X \le b\)», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)

    • \(P(4 < X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4)\);

    • \(P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\);

notação

A notação f.d. indica função distribuição.

Por vezes a notação adiciona uma letra em índice, como em \(F_X(x)\) ou \(F_Y(x)\), designando a v.a., X ou Y, à qual se aplica a f.d..