função de distribuição
Genericamente, uma distribuição é uma função que atribui probabilidades.
A função distribuição, representada por F(x), é o nome comum que se dá a funções que seguem a definição
sendo válida tanto para v.a. discretas como contínuas.
Por exemplo, num dado equilibrado a probabilidade de sair um número igual ou inferior a 4 é dada por:
axiomas
Uma função distribuição, habitualmente representada por F(x), deve obedecer ao seguinte:
é uma função não-decrescente
pode ser constante em subintervalos mas em geral ela cresce;
0 \le F(x) \le 1
esta função determina a probabilidade P(X \le x), logo o resultado deve estar no intervalo [0,\,1];
\lim_{x\to-\infty} F(x) = 0 e \lim_{x\to+\infty} F(x) = 1
propriedades para a v.a. discreta
Seguem-se exemplos do caso discreto (em que a v.a. é tipicamente uma contagem) com possível aplicação a algumas calculadoras gráficas ou software.
«menor ou igual»
P(X \le 4) = F(4) (exemplo)
lower = -\infty e upper = 4
estes limite são usados em algumas calculadoras gráficas
as noções -\infty e +\infty podem ser aproximados por \mp 10^{10}
P(X \le x) = F(x) (expressão matemática geral)
«estritamente menor»
P(X < 4) = P(X \le 3)=F(3)
lower = -\infty e upper = 3
P(X < x) = P(X \le x-1)
«estritamente maior»
P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)= 1-F(4);
lower = 5 e upper = +\infty;
P(X > x) = 1 - P(X \le x);
«maior ou igual»
P(X > 4) = 1 - P(X \le 3)=1 - F(3);
P(X \ge x) = 1 - P(X < x-1).
«intervalo a \le X \le b», a e b inteiros
P(4 \le X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 3) = F(6) - F(3);
P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1) = F(b) - F(a-1);
«intervalo a \le X < b», a e b inteiros
P(4 \le X < 6) = P(X \le 5) - P(X \le 3) = F(5) - F(3);
P(a \le X < b) = P(X \le b-1) - P(X \le a-1) = F(b-1) - F(a-1);
«intervalo a < X \le b», a e b inteiros
P(4 < X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4);
P(a < X \le b) = P(X \le b-1) - P(X \le a-1) = F(b-1) - F(a-1);
propriedades para a v.a. contínua
Numa distribuição contínua são as áreas que determinam a probabilidade. Quando não há área então a probabilidade é zero como é o caso de
P(X=a)=0
que pode ser compreendido como «baixo do ponto a não há área» e então a probabilidade é zero.
As seguintes probabilidade surgem então simplificadas:
«menor ou igual» (sempre que a v.a. é contínua)
P(X \le 4) = F(4) (aqui o «4» é um mero exemplo)
lower = -\infty e upper = 4
estes limite são usados em algumas calculadoras gráficas
as noções -\infty e +\infty podem ser aproximados por \mp 10^{10}
P(X \le x) = F(x) (F(x) é uma notação mais simples para P(X <= x)).
«estritamente menor» (sempre que a v.a. é contínua)
P(X < 4) = P(X \le 4)=F(4)
lower = -\infty e upper = 4
P(X < x) = P(X \le x)
«estritamente maior» (sempre que a v.a. é contínua)
P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)= 1-F(4);
lower = 4 e upper = +\infty ;
P(X > x) = 1 - P(X \le x) ;
«maior ou igual» (sempre que a v.a. é contínua)
P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)=1 - F(4);
P(X \ge x) = 1 - P(X < x) = 1 - P(X \le x).
«intervalos a \le X \le b», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)
P(4 \le X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4);
P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a);
«intervalo a \le X < b», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)
P(4 \le X < 6) = P(X \le 4) - P(X \le 3) = F(6) - F(4);
P(a \le X < b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a);
«intervalo a < X \le b», a e b reais (sempre que a v.a. é contínua)
P(4 < X \le 6) = P(X \le 6) - P(X \le 4) = F(6) - F(4);
P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a);
notação
A notação f.d. indica função distribuição.
Por vezes a notação adiciona uma letra em índice, como em F_X(x) ou F_Y(x), designando a v.a., X ou Y, à qual se aplica a f.d..