quartil amostral

Na linguagem corrente não rigorosa diz-se que

  • o primeiro quartil, que designa por \(Q_1\), é um valor tal que:

    • pelo menos 25% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_1\).

Usando o necessário rigor matemático, a frase acima está incompleta sendo necessário definir o valor \(Q_1\) do seguinte modo.

  • O primeiro quartil (\(Q_1\)) é um valor que obedece à conjunção de duas partes:

    • pelo menos 25% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_1\) e

    • pelo menos 75% das observações são iguais ou superiores ao valor \(Q_1\).

Por exemplo, na amostra ordenada (1, 2, 3, 4) pode escolher-se o valor \(Q_1=2\) pois

  • 2/4 = 50% (verifica o «pelo menos 25%») são iguais ou inferiores a Q1=2 e também

  • 3/4= 75% (verifica o «pelo menos 75%») são iguais ou superiores a Q1=2

Agora vamos escolher \(Q_1=4\) com a mesma amostra, (1, 2, 3, 4). Se a única permissa for «pelo menos 25% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_1\)» teríamos

  • \(Q_1=4\), i.e., 4/4 = 100% (verifica o «pelo menos 25%») das observações são iguais ou inferiores a Q1=4.

mas fará sentido «intuitivo» dizer que Q1=4 para a amostra (1, 2, 3, 4)? Não faz pois não transmite corretamente a ideia de um valor associado a 25% da amostra. Por isso é necessária a conjugação de duas partes, que agora se repetem:

  • pelo menos 25% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_1\) e

  • pelo menos 75% das observações são iguais ou superiores ao valor \(Q_1\).


Assim,

primeiro quartil (\(Q_1\)): pelo menos 25% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_1\) e pelo menos 75% das observações são iguais ou superiores ao valor \(Q_1\).

segundo quartil (ou mediana) (\(Q_2\)): pelo menos 50% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_2\) e pelo menos 50% das observações são iguais ou superiores ao valor \(Q_1\).

terceiro quartil (\(Q_3\)): pelo menos 75% das observações são iguais ou inferiores ao valor \(Q_3\) e pelo menos 25% das observações são iguais ou superiores ao valor \(Q_3\).

A imagem não abrange os casos todos pois os quartis podem coincidir em valor ficando sobrepostos:

_images/aed-pdf-111.png

cálculo de quartis

O cálculo de quartis segue a expressão geral em quantil amostral, que se resume em:

  • para \(Q_1\), tem-se \(p=0.25\);

  • para \(Q_2\), tem-se \(p=0.50\);

  • para \(Q_3\), tem-se \(p=0.75\).

Sendo n a dimensão da amostra:

  • se \(np\) não é inteiro, escolhe-se o inteiro seguinte, sem arredondar, para posição na amostra ordenada:

\[x_{\left( \lfloor np+1 \rfloor \right)}\]

  • se \(np\) é inteiro, faz-se média entre os dois valores consecutivos na amostra ordenada:

\[\frac{x_{(np)} + x_{(np+1)}}{2}\]

Aviso

O método de cálculo, acima, é uma simplificação de métodos mais ponderados usados em software. Assim, os quartis obtidos por software podem ser valores um pouco diferentes.

Consulte, também, quantil amostral.

máquina de calcular

Para obter a média e outras medidas use estes comandos:

R Project

A função summary() determina os quartis:

dados = c(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
summary(dados)

obtendo-se

Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
   0       1       1       1       1       2

A função quantile() calcula um qualquer quantil:

dados = c(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
quantile(dados, 0.25)

obtendo-se

25%
  1

ver também