ex. 1.26 (*)

Considere a amostra: 1.0, 1.0, 2.1, 4.1, 5.0, 6.0.

(a) Determine valores da função de distribuição empírica \(F_n(x)\) para cada elemento da amostra.

proposta de resolução

A amostra tem dimensão 6. De modo sumariado, a função de distribuição empírica pode ter este aspeto:

  • para \(x = 1.0\) então \(F_6(1.0)=2/6 \approx 0.33\) (33% das observações da amostra são iguais ou menores que 1)

  • para \(x = 2.1\) então \(F_6(2.1)=3/6 = 0.5\) (50% das observações da amostra são iguais ou menores que 2.1)

  • para \(x = 4.1\) então \(F_6(4.1)=4/6 \approx 0.66\) (66% das observações da amostra são iguais ou menores que 4.1)

  • para \(x = 5.0\) então \(F_6(5.0)=5/6 \approx 0.83\) (83% das observações da amostra são iguais ou menores que 5)

  • para \(x = 6.0\) então \(F_6(6.0)=1\) (100% das observações são iguais ou inferiores a 6)


(b) Determine os seguintes valores da função de distribuição empírica: \(F_6(0)\), \(F_6(2.5)\) e \(F_6(7)\).

proposta de resolução

A amostra tem dimensão 6.

  • \(F_6(0)=0\) pois 0 valores na amostra são iguais ou inferiores a 0.

  • \(F_6(2.5)=3/6=0.5\) pois 3 valores na amostra são iguais ou inferiores a 2.5.

  • \(F_6(7)\) pois todos os valores na amostra são iguais ou inferiores a 7.

A próxima alínea generaliza esta noção.


(c) Determine a função de distribuição empírica \(F_n(x)\).

proposta de resolução

A função deve ser definida para qualquer valor no eixo xx: \(\mathbb{R}\).

Começa-se por definir os intervalos, em geral abertos à direita \([a,b[\):

  • \(x < 1\) - de \(-\infty\) até antes do primeiro valor observado;

  • \(1 \le x < 2.1\) - do 1º valor observado e ao 2º valor observado (aberto);

  • \(2.1 \le x < 4.1\) - do 2º valor observado e ao 3º valor observado (aberto);

  • \(4.1 \le x < 5\) - etc

  • \(5 \le x \le 6\) - etc

  • \(x \ge 6\) - do último valor observado até \(+\infty\)

Com rigor matemático, esta função escreve-se assim:

\[\begin{split}F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ se } x < 1 \\ 0.33 & \text{ se } 1 \le x < 2.1\\ 0.5 & \text{ se } 2.1 \le x < 4.1\\ 0.66 & \text{ se } 4.1 \le x < 5\\ 0.83 & \text{ se } 5 \le x 6\\ 1 & \text{ se } x \ge 6 \end{array} \right.\end{split}\]

(d) Esboce o respetivo gráfico.

proposta de resolução

_images/ed-d-empirica-ex01-img1.png

(e) Use o gráfico, ou a função F, para calcular a proporção de elementos da amostra iguais ou inferiores a 1.5 e 4.5?

proposta de resolução

  • x=1.5 está no intervalo \(1 \le x < 2.1\) e então F(1.5)=0.33;

  • x=4.5 está no intervalo \(4.1 \le x < 5\) e então F(4.5)=0.66.