quantil amostral

O quantil amostral $x$ de ordem p, que se designa por $x_{p}$, descreve-se, em linguagem corrente não rigorosa, por:

• valor $x$ até ao qual se observam pelo menos $p \times 100\%$ observações da amostra ordenada

• sendo $p \in [0;1]$.

Por exemplo, $x_{0.30} = 25$ indica que: «pelo menos 30% das observações são iguais ou inferiores ao valor 25». (A percentagem 30% é para trás do valor do quantil.)

Mas uma definição mais precisa é necessária. É a conjugação obrigatória de duas partes:

• à esquerda de $x_p$ está uma proporção não inferior a $p$ dos valores mais reduzidos da amostra ordenada;

• à direita de $x_p$ está uma proporção não inferior a $(1-p)$ dos valores mais elevados da amostra ordenada.

Veja o exempo no quartil amostral que explica a necessidade destas duas partes.

descrição

Começando com um exemplo: considere a seguinte amostra ordenada de $n=10$ elementos:

$(10, 20, 20, 25, 40, 40, 40, 50, 60, 90)$

Nesta amostra, diz-se que um quantil de ordem 0.30 é, por exemplo, $x_{0.30} = 25$ verificando que

• pelo menos 30% das observações são iguais ou inferiores ao valor 25 (à esquerda de 25, contando com o valor 25, ocorrem mais de 30% de observações)

• mas também deve ser verificado que

• pelo menos 70% das observações são iguais ou superiores ao valor 25 (à direita de 25, contando com o valor 25, ocorrem 70% das observações).

Há mais que um quantil de ordem $p=0.3$:

• o valor 20.2 também é um quantil de ordem $p=0.30$ pois 30% das observações são iguais ou inferiores a 20.2 e 70% das observações são iguais ou superiores a 20.2.

• valores alternativos de quantis ocorrem num intervalo entre duas observações distintas (ou infinito no caso dos extremos).

definição e notação

• Um quantil de ordem $p$ (com $0 \le p \le 1$) é um valor, $x_p$, que divide a amostra ordenada em duas partes, tal que

  • à esquerda de $x_p$ está uma proporção não inferior a $p$ dos valores mais reduzidos da amostra

  • e, também deve ser verificado,

  • à direita uma proporção não inferior a $(1-p)$ dos valores mais elevados da amostra.

• Dizer que $x_p$ é um quantil de ordem $p$ significa que:

  • pelo menos $p \times100\%$ das observações da amostra são menores ou iguais a $x_p$ e

  • pelo menos $(1-p)\times 100\%$ das observações são maiores ou iguais a $x_p$.

Propriedade: há mais que um quantil de ordem p. Os softwares, calculadoras ou expressões em formulários podem determinar valores diferentes para um quantil, todos eles corretos, e dentro de um intervalo possível. Uns serão mais à esquerda, outros mais ao centro e outros mais à direita. Depende da maneira como se interpreta.

cálculo de quantis

A seguinte expressão permite calcular um quantil de ordem $p$

$$\begin{split}x_p = \left\{ \begin{array}{l} x_{\left( \lfloor np+1 \rfloor \right)} \text{ se np não inteiro}\\ \displaystyle \frac{x_{(np)} + x_{(np+1)}}{2} \text{ se np inteiro} \end{array} \right.\end{split}$$

• Se $np$ não é inteiro, escolhe-se o inteiro seguinte para posição na amostra ordenada;

• Se $np$ é inteiro, faz-se média entre os dois valores consecutivos na amostra ordenada, a começar em $np$

exemplo 1

O valor do quantil de ordem $1/4$, i.e. $x_{1/4}$, na seguinte amostra ordenada

$$\begin{split}\begin{array}{cccccccccc} x_{(1)} & x_{(2)} & x_{(3)} & x_{(4)} & x_{(5)} & x_{(6)} & x_{(7)} & x_{(8)} & x_{(9)} & x_{(10)}\\ \hline 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 4 & 5 & 6 \\ \end{array}\end{split}$$

calcula-se $np=10 \times 0.25=2.5$ com $n=10$ e $p=1/4$, e não sendo inteiro,

$$x_{1/4} = x_{(\lfloor 2.5+1 \rfloor)} = x_{(3)} = 1$$

De facto, existem:

• 30% de observações iguais ou inferiores a 1 e

• 90% de observações iguais ou superiores a 1.

verificando a definição:

• pelo menos $25\%$ das observações da amostra são menores ou iguais a $1$ e

• pelo menos $75\%$ das observações são maiores ou iguais a $1$.

Note-se que o valor 1.5 também é um quantil de ordem 1/4 pois verifica a definição.

exemplo 2

O valor do quantil de ordem $1/4$, i.e. $x_{1/4}$, na seguinte amostra ordenada

$$\begin{split}\begin{array}{cccccccccc} x_{(1)} & x_{(2)} & x_{(3)} & x_{(4)} & x_{(5)} & x_{(6)} & x_{(7)} & x_{(8)} & x_{(9)} & x_{(10)}\\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\end{split}$$

calcula-se $np=10 \times 0.25=2.5$ com $n=10$ e $p=1/4$, e não sendo inteiro,

$$x_{1/4} = x_{(\lfloor 2.5+1 \rfloor)} = x_{(3)} = 1$$

De facto, existem:

• 90% de observações iguais ou inferiores a 1 e

• 90% de observações iguais ou superiores a 1.

que verifica a definição. A percentagem 90% surge porque há muita repetição de 1s na amostra.

quantis mais frequentes

Consoante o valor de $p$ alguns quantis recebem designações próprias.

Quartil amostral (ver +)

Quando $p \in \{1/4, 2/4, 3/4\}$ usa-se a notação $Q_1$ (1º quartil), $Q_2$ (2º quartil) e $Q_3$ (3º quartil).

O quartil $Q_2$ também se designa por mediana amostral.

Decis

Quando $p \in \{1/10, 2/10, \cdots, 9/10\}$ usa-se a notação $D_1$ (1º decil) até ao $D_9$ (9º decil).

Percentis

Quando $p \in \{1/100, 2/100, \cdots, 99/100\}$ com notação $P_1$ (1º percentil) até ao $P_{99}$ (99º percentil).

R Project

A função quantile() calcula um qualquer quantil:

dados = c(0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2)
quantile(dados, 0.25)

que resulta em

25%
  1

O método de cálculo da função quantile() é diferente do algoritmo explicitado acima.

Ver também: quartis em R.