inferência em população genérica

Testes e intervalo de confiança para a média (\(\mu\)) de uma população genérica com recurso ao teorema do limite central:

São consideradas duas possibilidades:

Nestas condições, a variável fulcral segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão Z:

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; \sim_{aprox} \; N(0,\; 1)\]

Assim, considerando que se tratam de aproximações, a inferência segue os mesmos moldes da inferência em população normal quando a variância populacional é conhecida.

procedimento para obter o IC

Conhecida a média amostral (ver medidas amostrais), fixado o grau de confiança \(1-\alpha\), tendo como pressupondo \(n \ge 30\), uma aproximação do o IC é dada por

\[IC_{1-\alpha}(\mu) \approx \left[ \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\]

em que, com base na distribuição normal padrão Z,

\[z_{1-\alpha/2} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2; 0; 1)\]
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É mostrado, na figura, que o grau de confiança, \(1 - \alpha\), é colocado no centro da distribuição N(0, 1):

_images/ei-ic-normalpadrao-centro.png

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

  • \(X \sim \text{generica}\) (X segue uma distribuição genérica)

  • \(\mu\) conhecido (a média populacional é conhecida)

  • \(\sigma^2\) conhecido (a variância populacional é conhecida)

  • \(n \ge 30\) (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

\(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação

  • teste bilateral:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)

  • teste unilateral à direita:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0\)

  • teste unilateral à esquerda:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0\)

2. Identificar a estatística de teste

Pressupõe-se \(n \ge 30\).

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro \(\mu\) é o valor real \(\mu_0\) indicado no problema em investigação.

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)\]
3. Obter o valor da estatística de teste

Com base na média amostral e valor \(\mu_0\):

\[z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\]
4. Calcular o p-value

Consideram-se os três casos.

No que se segue, \(\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)\).

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

  • se \(z_{obs}\) é negativo então

    • tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times \Phi(z_{obs})\)

    • calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(lower=-\infty,\;upper=z_{obs},\;\mu=0,\;\sigma=1)\)

  • se \(z_{obs}\) é positivo então

    • tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times (1 - \Phi(z_{obs}))\)

    • calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)\)

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de \(z_{obs}\) ser positivo ou negativo:

  • tabelas: \(\text{p-value} = 1 - \Phi(z_{obs})\)

  • calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)\)

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de \(z_{obs}\) ser positivo ou negativo:

  • tabelas: \(\text{p-value} = \Phi(z_{obs})\)

  • calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(-\infty,\;z_{obs},\;\;0,\;1)\)

5. Concluir
  • se \(\text{p-value} \le \alpha\) então rejeita-se H0 em favor de H1

  • se \(\text{p-value} > \alpha\) então não se rejeita H0

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

  • «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

  • «o peso médio (é / não é) significativamente maior que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

  • «o peso médio (é / não é) significativamente menor que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

  • \(X \sim \text{generica}\) (X segue uma distribuição genérica)

  • \(\mu\) conhecido (a média populacional é conhecida)

  • \(\sigma^2\) conhecido (a variância populacional é conhecida)

  • \(n \ge 30\) (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

\(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

  • teste bilateral:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)

  • teste unilateral à direita:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0\)

  • teste unilateral à esquerda:

    • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0\)

2. Identificar a estatística de teste

Pressupõe-se \(n \ge 30\).

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro \(\mu\) é o valor real \(\mu_0\) indicado no problema em investigação.

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)\]
3. Obter o valor da estatística de teste

Com base na média amostral e valor \(\mu_0\):

\[z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\]

No que se segue, \(\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)\).

4. Obter a região crítica.

A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha \(z_{obs}\).

4a. região crítica bilateral

  • tabelas: \(z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)\)

  • calculadoras: \(z_{critico} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2,\;0,\; 1)\) (o resultado é positivo)

\(RC = ]-\infty,\; z_{critico}[ \;\cup\; ]z_{critico},\; +\infty[\).

4b. região crítica unilateral à direita

  • tabelas: \(z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha)\)

  • calculadoras: \(z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-\alpha,\;0,\; 1)\) (o resultado é positivo)

\(RC = ]z_{critico},\; +\infty[\)

4c. região crítica unilateral à esquerda

  • tabelas: \(z_{critico} = \Phi^{-1}(\alpha)\)

  • calculadoras: \(z_{critico} = \text{INV.Normal}(\alpha,\;0,\; 1)\) (o resultado é negativo)

\(RC = ]-\infty,\; z_{critico}[\)

5. Concluir.
  • se \(z_{obs}\) pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,

  • se \(z_{obs}\) não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

  • «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

  • «o peso médio (é / não é) significativamente maior que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

  • «o peso médio (é / não é) significativamente menor que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

  • \(X \sim \text{generica}\) (X segue uma distribuição genérica)

  • \(\mu\) conhecido (a média populacional é conhecida)

  • \(\sigma^2\) conhecido (a variância populacional é conhecida)

  • \(n \ge 30\) (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

  • o TH a efetuar é do tipo bilateral (\(H_1:\; \mu \neq \mu_0\))

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

\(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

  • \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)

2. Usar ou determinar o IC

(ver também procedimento para obter o IC)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

  • Pressuposto: \(n \ge 30\)

  • O IC é obtido com grau de confiança \(1 - \alpha\)

  • O IC, aproximado, é dado por:

\[IC_{1-\alpha}(\mu) \approx \left] \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right[\]
3. Concluir
  • se \(\mu_0\) não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,

  • se \(\mu_0\) pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

  • «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

calculadora gráfica

Consulte as funções da calculadora gráfica para o teste Z e IC Z.