inferência em população genérica

Testes e intervalo de confiança para a média ($\mu$) de uma população genérica com recurso ao teorema do limite central:

• $X \; \sim$ distribuição genérica

• $n \ge 30$ (ver dimensão da amostra)

São consideradas duas possibilidades:

• variância populacional conhecida ($\sigma^2$ é conhecida do problema em investigação)

• variância populacional estimada pela variância amostral corrigida ($\hat \sigma^2 = s_c^2$).

Nestas condições, a variável fulcral segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão Z:

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; \sim_{aprox} \; N(0,\; 1)$$

Assim, considerando que se tratam de aproximações, a inferência segue os mesmos moldes da inferência em população normal quando a variância populacional é conhecida.

procedimento para obter o IC

Conhecida a média amostral (ver medidas amostrais), fixado o grau de confiança $1-\alpha$, tendo como pressupondo $n \ge 30$, uma aproximação do o IC é dada por

$$IC_{1-\alpha}(\mu) \approx \left[ \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$$

em que, com base na distribuição normal padrão Z,

$$z_{1-\alpha/2} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2; 0; 1)$$

É mostrado, na figura, que o grau de confiança, $1 - \alpha$, é colocado no centro da distribuição N(0, 1):

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

• $X \sim \text{generica}$ (X segue uma distribuição genérica)

• $\mu$ conhecido (a média populacional é conhecida)

• $\sigma^2$ conhecido (a variância populacional é conhecida)

• $n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

$\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação

• teste bilateral:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$

• teste unilateral à direita:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$

• teste unilateral à esquerda:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste

Pressupõe-se $n \ge 30$.

A notação «$| \; H_0$» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$$

3. Obter o valor da estatística de teste

Com base na média amostral e valor $\mu_0$:

$$z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

4. Calcular o p-value

Consideram-se os três casos.

No que se segue, $\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)$.

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

• se $z_{obs}$ é negativo então

  • tabelas: $\text{p-value} = 2 \times \Phi(z_{obs})$

  • calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(lower=-\infty,\;upper=z_{obs},\;\mu=0,\;\sigma=1)$

• se $z_{obs}$ é positivo então

  • tabelas: $\text{p-value} = 2 \times (1 - \Phi(z_{obs}))$

  • calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)$

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo:

• tabelas: $\text{p-value} = 1 - \Phi(z_{obs})$

• calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)$

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo:

• tabelas: $\text{p-value} = \Phi(z_{obs})$

• calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(-\infty,\;z_{obs},\;\;0,\;1)$

5. Concluir

• se $\text{p-value} \le \alpha$ então rejeita-se H0 em favor de H1

• se $\text{p-value} > \alpha$ então não se rejeita H0

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

• «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

• «o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

• «o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

• $X \sim \text{generica}$ (X segue uma distribuição genérica)

• $\mu$ conhecido (a média populacional é conhecida)

• $\sigma^2$ conhecido (a variância populacional é conhecida)

• $n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

$\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

• teste bilateral:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$

• teste unilateral à direita:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$

• teste unilateral à esquerda:

  • $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste

Pressupõe-se $n \ge 30$.

A notação «$| \; H_0$» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$$

3. Obter o valor da estatística de teste

Com base na média amostral e valor $\mu_0$:

$$z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$$

No que se segue, $\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)$.

4. Obter a região crítica.

A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha $z_{obs}$.

4a. região crítica bilateral

• tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)$

• calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[ \;\cup\; ]z_{critico},\; +\infty[$.

4b. região crítica unilateral à direita

• tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha)$

• calculadoras: $z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]z_{critico},\; +\infty[$

4c. região crítica unilateral à esquerda

• tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(\alpha)$

• calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é negativo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[$

5. Concluir.

• se $z_{obs}$ pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,

• se $z_{obs}$ não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

• «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

• «o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

• «o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

• $X \sim \text{generica}$ (X segue uma distribuição genérica)

• $\mu$ conhecido (a média populacional é conhecida)

• $\sigma^2$ conhecido (a variância populacional é conhecida)

• $n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

• o TH a efetuar é do tipo bilateral ($H_1:\; \mu \neq \mu_0$)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1

$\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

• $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$

2. Usar ou determinar o IC

(ver também procedimento para obter o IC)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

• Pressuposto: $n \ge 30$

• O IC é obtido com grau de confiança $1 - \alpha$

• O IC, aproximado, é dado por:

$$IC_{1-\alpha}(\mu) \approx \left] \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right[$$

3. Concluir

• se $\mu_0$ não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,

• se $\mu_0$ pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

• «o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

calculadora gráfica

Consulte as funções da calculadora gráfica para o teste Z e IC Z.