inferência sobre proporções 

Testes e intervalo de confiança para uma proporção, $p$ (parâmetro populacional), com recurso ao teorema do limite central considerando que

$X_i,\, i=1,\ldots,n$ constituí uma amostra com valores 1 e 0 (1 indicando «sucesso» e 0 indicando «falha»);
$n \ge 30$ (ver dimensão da amostra)
$X=X_1 + \cdots + X_n$ é a soma total de sucessos:
- sendo uma soma de v.a. então pode aplicar-se o teorema do limite central

Um estimador para $p$ , a proporção populacional de sucessos, é dada por então

$\hat p = \frac{X}{n},$

em que $X$ é o total de sucessos. A variável fulcral segue, aproximadamente, a distribuição normal padrão Z

$Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; \sim_{aprox} \; N(0,\; 1)$

procedimento para obter o IC 

Conhecida a proporção amostral de sucessos, ou estimativa para $p$ ,

$\hat p = \frac{x}{n},$

fixado o grau de confiança $1-\alpha$ , pressupondo $n \ge 30$ , então uma aproximação do IC para uma proporção é dada por

$IC_{1-\alpha}(p) \approx \left[ \hat p - z_{1-\alpha/2} \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n},\; \hat p + z_{1-\alpha/2} \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n} \right]$

em que, com base na distribuição normal padrão Z,

$z_{1-\alpha/2} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2; 0; 1)$

É mostrado, na figura, que o grau de confiança, $1 - \alpha$ , é colocado no centro da distribuição N(0, 1):

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

considerando que:

$X_i=0$ indica «insucesso» na obseração i (ver distribuição de Bernoulli)
$X_i=1$ indica «sucesso» na obseração i
$X=X_1+\cdots+X_n$ é a soma de sucessos/insucessos que justifica o uso do TLC
$p$ é a proporção populacional de sucessos
$\hat p=x/n$ é a proporção estimada de sucessos

1. Especificar a hipóteses H0 e H1 em que: $p$ é a proporção de indivíduos com uma dada característica na população (parâmetro desconhecido) e $p_0$ é uma proporção indicada no problema em investigação:

teste bilateral:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p \neq p_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p > p_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p < p_0$

2. Identificar a estatística de teste para os pressupostos dados:: Pressupondo $n \ge 30$ :

$Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$

sendo $\hat p = \frac{X}{n}$ o estimador da proporção populacional p.

3. Obter o valor da estatística de teste

o valor $p_0$ é fornecido em H0;
$\hat p = \frac{x}{n}$ é a estimativa da proporção p.

$z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

em que $p_0$ é o valor de p assumido em H0.

4. Calcular o p-value

Consideram-se os três casos.

No que se segue, $\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)$ .

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se $z_{obs}$ é negativo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times \Phi(z_{obs})$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(-\infty,\;z_{obs},\; 0,\; 1)$
se $z_{obs}$ é positivo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times (1 - \Phi(z_{obs}))$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\; 0,\; 1)$

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo interessa só a probabilidade à direita de $z_{obs}$ :

tabelas: $\text{p-value} = 1 - \Phi(z_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\; 0,\; 1)$

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo interessa só a probabilidade à esquerda de $z_{obs}$ :

tabelas: $\text{p-value} = \Phi(z_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(-\infty,\; z_{obs},\; 0,\; 1)$

calculadora gráfica: verifique o resultado efetuando o cálculo do p-value com as funções de teste de hipóteses.

5. Concluir

se $\text{p-value} \le \alpha$ então rejeita-se H0 em favor de H1
se $\text{p-value} > \alpha$ então não se rejeita H0

6. Interpretar no contexto do problema em investigação:

Sugestão de interpretação:

«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente diferente que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente maior que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente menor que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)

considerando que:

$X_i=0$ indica «insucesso» na obseração i (ver distribuição de Bernoulli)
$X_i=1$ indica «sucesso» na obseração i
$X=X_1+\cdots+X_n$ é a soma de sucessos/insucessos que justifica o uso do TLC
$p$ é a proporção populacional de sucessos
$\hat p=x/n$ é a proporção estimada de sucessos

1. Especificar a hipóteses H0 e H1.: $p$ é a proporção de indivíduos com uma dada característica na população (parâmetro desconhecido) e $p_0$ é uma proporção indicada no problema em investigação:

teste bilateral:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p \neq p_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p > p_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p < p_0$

2. Identificar a estatística de teste.: Pressupondo $n \ge 30$ :

$Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$

com $\hat p = \frac{X}{n}$ .

3. Obter o valor da estatística de teste

o valor $p_0$ é fornecido em H0;
$\hat p = \frac{x}{n}$ é a estimativa da proporção p.

$z_{obs} = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

4. Obter a região crítica.: A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha $z_{obs}$ .

4a. região crítica bilateral

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[ \;\cup\; ]z_{critico},\; +\infty[$ .

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha)$
calculadoras: $z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]z_{critico},\; +\infty[$

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(\alpha)$
calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é negativo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[$

Nota: as calculadoras, em geral, não determinam a região crítica.

5. Concluir.

se $z_{obs}$ pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $z_{obs}$ não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

6. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação:

«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente diferente que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente maior que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente menor que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$n \ge 30$ (a amostra é suficientemente grande para se usar a aproximação pelo TLC)
o TH a efetuar é do tipo bilateral ( $H_1:\; p \neq p_0$ )

considerando que:

$X_i=0$ indica «insucesso» na obseração i (ver distribuição de Bernoulli)
$X_i=1$ indica «sucesso» na obseração i
$X=X_1+\cdots+X_n$ é a soma de sucessos/insucessos que justifica o uso do TLC
$p$ é a proporção populacional de sucessos
$\hat p=x/n$ é a proporção estimada de sucessos

1. Especificar a hipóteses H0 e H1 em que: $p$ é a proporção de indivíduos com uma dada característica na população (parâmetro desconhecido) e $p_0$ é uma proporção indicada no problema em investigação.

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

$H_0:\; p = p_0 \quad vs \quad H_1:\; p \neq p_0$

2. Usar ou determinar o IC (ver procedimento para obter o IC).

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

Com

o pressuposto de $n \ge 30$
o grau de confiança é $1 - \alpha$

então o IC aproximado é dado por

$IC_{1-\alpha}(p) \approx \left[ \hat p - z_{1-\alpha/2} \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n},\; \hat p + z_{1-\alpha/2} \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n} \right]$

3. Concluir

se $p_0$ não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $p_0$ pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação:

Sugestão de interpretação:

«a proporção de indivíduos com dada característica (é / não é) significativamente diferente que $p_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

(Recorda-se: O método do IC só é aplicável para hipóteses bilaterais.)

outras designações do teste à proporção 

Testes em populações de Bernoulli
Teste assintótico para uma proporção p

pressupostos mais exigentes 

Os método de inferência usados para a proporção, nesta página, fornecem soluções aproximadas. Por forma a melhorar a aproximação podem ser adicionados mais pressupostos: