teste e intervalo Z para a média 

Testes e intervalo de confiança para a média ( $\mu$ ) de uma população normal com variância conhecida ( $\sigma^2$ ). Em notação matemática:

$X \sim N(\mu,\; \sigma^2)$ : os dados são bem modelados por uma distribuição normal
$\sigma^2$ é conhecida do problema em investigação (ver variância populacional)

e nestas condições, a variável fulcral é

$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; \sim \; N(0,\; 1)$

que segue distribuição de amostragem Normal.

procedimento para obter o IC 

Conhecida a média amostral (ver também medidas amostrais) o IC, com $1-\alpha$ de confiança, é dado por

$IC_{1-\alpha}(\mu) = \left] \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right[$

em que, com base na distribuição normal padrão Z,

$z_{1-\alpha/2} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2; 0; 1)$

É mostrado, na figura, que o grau de confiança, $1 - \alpha$ , é colocado no centro da distribuição N(0, 1):

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ conhecido (a variância populacional é conhecida)

As etapas são:

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste: A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim N(0,\;1)$

3. Obter o valor da estatística de teste: Com base na média amostral e valor $\mu_0$ :

$z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

4. Calcular o p-value

Consideram-se os três casos.

No que se segue, $\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)$ .

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se $z_{obs}$ é negativo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times \Phi(z_{obs})$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(lower=-\infty,\;upper=z_{obs},\;\mu=0,\;\sigma=1)$
se $z_{obs}$ é positivo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times (1 - \Phi(z_{obs}))$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)$

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo:

tabelas: $\text{p-value} = 1 - \Phi(z_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(z_{obs},\;+\infty,\;0,\;1)$

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de $z_{obs}$ ser positivo ou negativo:

tabelas: $\text{p-value} = \Phi(z_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(-\infty,\;z_{obs},\;\;0,\;1)$

5. Concluir

se $\text{p-value} \le \alpha$ então rejeita-se H0 em favor de H1
se $\text{p-value} > \alpha$ então não se rejeita H0

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ (a variância populacional é conhecida)

As etapas são:

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste: A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor do parâmetro $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim N(0,\;1)$

3. Obter o valor da estatística de teste:: Com base na média amostral e valor $\mu_0$ .

$z_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

No que se segue, $\Phi(z) = \text{CDF.Normal}(z,\; 0,\; 1)$ .

4. Obter a região crítica.: A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha $z_{obs}$ .

4a. região crítica bilateral

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(1-\alpha/2,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[ \;\cup\; ]z_{critico},\; +\infty[$ .

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(1-\alpha)$
calculadoras: $z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é positivo)

$RC = ]z_{critico},\; +\infty[$

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: $z_{critico} = \Phi^{-1}(\alpha)$
calculadoras: $z_{critico} = \text{INV.Normal}(\alpha,\;0,\; 1)$ (o resultado é negativo)

$RC = ]-\infty,\; z_{critico}[$

5. Concluir.

se $z_{obs}$ pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $z_{obs}$ não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ (a variância populacional é conhecida)
o TH a efetuar é do tipo bilateral ( $H_1:\; \mu \neq \mu_0$ )

As etapas são:

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

$H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$

2. Usar ou determinar o IC: (ver também procedimento para obter o IC)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

O IC é obtido com grau de confiança $1 - \alpha$
O IC é dado por:

$IC_{1-\alpha}(\mu) = \left] \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right[$

3. Concluir

se $\mu_0$ não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $\mu_0$ pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

Recorda-se: o método do IC só é aplicável ao teste bilateral.