TH e IC do qui-quadrado para a variância 

A variável fulcral para TH e IC para a variância populacional ( $\sigma^2$ ) e desvio padrão populacional ( $\sigma$ ) é

$V=\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$

sendo esta variável fulcral usada quando a média populacional ( $\mu$ ) não é conhecida no problema em investigação.

intervalo de confiança 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
a variância populacional ( $\sigma^2$ ) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido ( $s_c$ )

O IC para a variância populacional:

$IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{ (n-1) s^2_c }{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}},\; \frac{ (n-1) s^2_c }{ \chi^2_{n-1,\alpha/2} } \right]$

em que

tabelas: $\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é positivo)

O IC para o desvio padrão populacional deve obter-se por raiz quadrada de ambos os lados do IC para a variância:

$IC_{1-\alpha}(\sigma) = \sqrt{ IC_{1-\alpha}(\sigma^2) }$

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
a variância populacional ( $\sigma^2$ ) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido ( $s_c$ )

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\sigma^2_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 > \sigma^2_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 < \sigma^2_0$

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as variâncias amostral e populacional.

A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de $\sigma^2$ é o valor real $\sigma^2_0$ indicado no problema em investigação.

$V = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \; | \; H_0 \; \sim \chi^2_{n-1}$

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro $\sigma^2$ é o valor real $\sigma^2_0$ .

O valor da estatística de teste é obtido com base na variância amostral corrigida $s_c^2$ e no valor $\sigma^2_0$ :

$v_{obs} = \frac{(n-1)s_c^2}{\sigma_0^2}$

4. Calcular o p-value: No que se segue, $F_{\chi^2,n-1}(v) = \text{CDF.CHISQ}(lower=-\infty,\; upper=v,\; df=n-1)$ em que lower, upper e df (degrees of freedom ou graus de liberdade) são valores habitualmente pedidos nas calculadoras.

A média da distribuição de amostragem qui-quadrado $\chi^2_{n-1}$ é n-1. Este valor serve de referência para saber se um dado $v_{obs}$ se encontra do lado esquerdo (valores mais próximos de zero) ou direito (valores mais afastados de zero).

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se $v_{obs}$ é inferior a n-1 então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.CHISQ}(-\infty,\;v_{obs},\;n-1)$
se $v_{obs}$ é superior a n-1 então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times (1 - F_{\chi^2,n-1}(v_{obs}))$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.CHISQ}(v_{obs},\; +\infty,\;n-1)$

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de $v_{obs}$ ser inferior ou superior a n-1 (média da $\chi^2_{n-1}$ ):

tabelas: $\text{p-value} = 1 - F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.CHISQ}(v_{obs},\; +\infty,\;n-1)$

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de $v_{obs}$ ser inferior ou superior a n-1 (média da $\chi^2_{n-1}$ ):

tabelas: $\text{p-value} = F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.CHISQ}(-\infty,\; v_{obs},\; n-1)$

5. Concluir

se $\text{p-value} \le \alpha$ então rejeita-se H0 em favor de H1
se $\text{p-value} > \alpha$ então não se rejeita H0

6. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente maior que $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente menor que $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

Nota: para o desvio padrão populacional ( $\sigma$ ) as conclusões são análogas.

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
a variância populacional ( $\sigma^2$ ) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido ( $s_c$ )

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\sigma^2_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 > \sigma^2_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 < \sigma^2_0$

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as variâncias amostral e populacional.

A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de $\sigma^2$ é o valor real $\sigma^2_0$ indicado no problema em investigação.

$V = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \; | \; H_0 \; \sim \chi^2_{n-1}$

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro $\sigma^2$ é o valor real $\sigma^2_0$ .

O valor da estatística de teste é obtido com base na variância amostral corrigida e no valor $\sigma^2_0$ :

$v_{obs} = \frac{(n-1)s_c^2}{\sigma_0^2}$

4. Obter a região crítica: A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha $v_{obs}$ .

No que se segue, $F^{-1}_{\chi^2,n-1}(prob) = \text{INV.CHISQ}(prob,\; n-1)$ .

4a. região crítica bilateral

tabelas: $v_{critico,1} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(\alpha/2)$
tabelas: $v_{critico,2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $v_{critico,1} = \text{INV.CHISQ}(\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é inferior a n-1)
calculadoras: $v_{critico,2} = \text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é superior a n-1)

$RC = [0,\; v_{critico,1}[ \;\cup\; ]v_{critico,2},\; +\infty[$ .

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: $v_{critico} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha)$
calculadoras: $v_{critico} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha,\;n-1)$ (o resultado é superior a n-1)

$RC = ]v_{critico},\; +\infty[$

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: $v_{critico} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(\alpha)$
calculadoras: $v_{critico} = \text{INV.CHISQ}(\alpha,\;n-1)$ (o resultado é inferior a n-1)

$RC = [0,\; z_{critico}[$

Nota: as calculadoras, em geral, não determinam a região crítica.

5. Concluir.

se $v_{obs}$ pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $v_{obs}$ não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

6. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente maior que $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente menor que $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

Nota: para o desvio padrão populacional ( $\sigma$ ) as conclusões são análogas.

TH com base no intervalo de confiança 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$
a variância populacional ( $\sigma^2$ ) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido ( $s_c$ )
o TH a efetuar é do tipo bilateral ( $H_1:\; \mu \neq \mu_0$ )

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\sigma^2_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0$

2. Usar ou determinar o IC: (Ver também intervalo de confiança.)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC para a variância ou desvio padrão populacionais então passa-se para a etapa seguinte.

O IC para a variância populacional:

$IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{ (n-1) s^2_c }{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}},\; \frac{ (n-1) s^2_c }{ \chi^2_{n-1,\alpha/2} } \right]$

em que

tabelas: $\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é superior a n-1)

3. Concluir

se $\sigma^2_0$ não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $\sigma^2_0$ pertence ao IC então não se rejeita H0.

Nota: se o IC foi obtido para o desvio padrão populacional então basta analisar $\sigma_0$ .

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.: Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de $\sigma^2_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

Se o TH é para o desvio padrão então a interpretação é análoga.