TH e IC do qui-quadrado para a variância 

A variável fulcral para TH e IC para a variância populacional (\(\sigma^2\)) e desvio padrão populacional (\(\sigma\)) é

\[V=\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\]

sendo esta variável fulcral usada quando a média populacional (\(\mu\)) não é conhecida no problema em investigação.

intervalo de confiança 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)
a variância populacional (\(\sigma^2\)) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido (\(s_c\))

O IC para a variância populacional:

\[IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{ (n-1) s^2_c }{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}},\; \frac{ (n-1) s^2_c }{ \chi^2_{n-1,\alpha/2} } \right]\]

em que

tabelas: \(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)\)
calculadoras: \(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é positivo)

O IC para o desvio padrão populacional deve obter-se por raiz quadrada de ambos os lados do IC para a variância:

\[IC_{1-\alpha}(\sigma) = \sqrt{ IC_{1-\alpha}(\sigma^2) }\]

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)
a variância populacional (\(\sigma^2\)) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido (\(s_c\))

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\sigma^2_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0\)
teste unilateral à direita:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 > \sigma^2_0\)
teste unilateral à esquerda:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 < \sigma^2_0\)

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as variâncias amostral e populacional.

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de \(\sigma^2\) é o valor real \(\sigma^2_0\) indicado no problema em investigação.

\[V = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \; | \; H_0 \; \sim \chi^2_{n-1}\]

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro \(\sigma^2\) é o valor real \(\sigma^2_0\).

O valor da estatística de teste é obtido com base na variância amostral corrigida \(s_c^2\) e no valor \(\sigma^2_0\):

\[v_{obs} = \frac{(n-1)s_c^2}{\sigma_0^2}\]

4. Calcular o p-value: No que se segue, \(F_{\chi^2,n-1}(v) = \text{CDF.CHISQ}(lower=-\infty,\; upper=v,\; df=n-1)\) em que lower, upper e df (degrees of freedom ou graus de liberdade) são valores habitualmente pedidos nas calculadoras.

A média da distribuição de amostragem qui-quadrado \(\chi^2_{n-1}\) é n-1. Este valor serve de referência para saber se um dado \(v_{obs}\) se encontra do lado esquerdo (valores mais próximos de zero) ou direito (valores mais afastados de zero).

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se \(v_{obs}\) é inferior a n-1 então
- tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})\)
- calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.CHISQ}(-\infty,\;v_{obs},\;n-1)\)
se \(v_{obs}\) é superior a n-1 então
- tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times (1 - F_{\chi^2,n-1}(v_{obs}))\)
- calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.CHISQ}(v_{obs},\; +\infty,\;n-1)\)

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de \(v_{obs}\) ser inferior ou superior a n-1 (média da \(\chi^2_{n-1}\)):

tabelas: \(\text{p-value} = 1 - F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})\)

calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.CHISQ}(v_{obs},\; +\infty,\;n-1)\)

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de \(v_{obs}\) ser inferior ou superior a n-1 (média da \(\chi^2_{n-1}\)):

tabelas: \(\text{p-value} = F_{\chi^2,n-1}(v_{obs})\)

calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.CHISQ}(-\infty,\; v_{obs},\; n-1)\)

5. Concluir

se \(\text{p-value} \le \alpha\) então rejeita-se H0 em favor de H1
se \(\text{p-value} > \alpha\) então não se rejeita H0

6. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente maior que \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente menor que \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

Nota: para o desvio padrão populacional (\(\sigma\)) as conclusões são análogas.

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)
a variância populacional (\(\sigma^2\)) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido (\(s_c\))

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\sigma^2_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0\)
teste unilateral à direita:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 > \sigma^2_0\)
teste unilateral à esquerda:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 < \sigma^2_0\)

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as variâncias amostral e populacional.

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de \(\sigma^2\) é o valor real \(\sigma^2_0\) indicado no problema em investigação.

\[V = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \; | \; H_0 \; \sim \chi^2_{n-1}\]

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro \(\sigma^2\) é o valor real \(\sigma^2_0\).

O valor da estatística de teste é obtido com base na variância amostral corrigida e no valor \(\sigma^2_0\):

\[v_{obs} = \frac{(n-1)s_c^2}{\sigma_0^2}\]

4. Obter a região crítica: A região crítica é um intervalo onde se rejeita H0 caso este contenha \(v_{obs}\).

No que se segue, \(F^{-1}_{\chi^2,n-1}(prob) = \text{INV.CHISQ}(prob,\; n-1)\).

4a. região crítica bilateral

tabelas: \(v_{critico,1} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(\alpha/2)\)
tabelas: \(v_{critico,2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)\)
calculadoras: \(v_{critico,1} = \text{INV.CHISQ}(\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é inferior a n-1)
calculadoras: \(v_{critico,2} = \text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é superior a n-1)

\(RC = [0,\; v_{critico,1}[ \;\cup\; ]v_{critico,2},\; +\infty[\).

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: \(v_{critico} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha)\)
calculadoras: \(v_{critico} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha,\;n-1)\) (o resultado é superior a n-1)

\(RC = ]v_{critico},\; +\infty[\)

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: \(v_{critico} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(\alpha)\)
calculadoras: \(v_{critico} = \text{INV.CHISQ}(\alpha,\;n-1)\) (o resultado é inferior a n-1)

\(RC = [0,\; z_{critico}[\)

Nota: as calculadoras, em geral, não determinam a região crítica.

5. Concluir.

se \(v_{obs}\) pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se \(v_{obs}\) não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

6. Interpretar no contexto do problema em investigação.

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente maior que \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«a variância do peso (é / não é) significativamente menor que \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

Nota: para o desvio padrão populacional (\(\sigma\)) as conclusões são análogas.

TH com base no intervalo de confiança 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)
a variância populacional (\(\sigma^2\)) é desconhecida
o problema em investigação fornece o desvio padrão corrigido (\(s_c\))
o TH a efetuar é do tipo bilateral (\(H_1:\; \mu \neq \mu_0\))

Para efetuar um teste de hipóteses para o desvio padrão populacional deve realizar-se um teste de hipóteses para a variância populacional e a conclusão é a mesma em ambos os casos.

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\sigma^2_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- \(H_0:\, \sigma^2 = \sigma^2_0 \quad vs \quad H_1:\, \sigma^2 \neq \sigma^2_0\)

2. Usar ou determinar o IC: (Ver também intervalo de confiança.)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC para a variância ou desvio padrão populacionais então passa-se para a etapa seguinte.

O IC para a variância populacional:

\[IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[ \frac{ (n-1) s^2_c }{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}},\; \frac{ (n-1) s^2_c }{ \chi^2_{n-1,\alpha/2} } \right]\]

em que

tabelas: \(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{\chi^2,n-1}(1-\alpha/2)\)
calculadoras: \(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} =\text{INV.CHISQ}(1-\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é superior a n-1)

3. Concluir

se \(\sigma^2_0\) não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se \(\sigma^2_0\) pertence ao IC então não se rejeita H0.

Nota: se o IC foi obtido para o desvio padrão populacional então basta analisar \(\sigma_0\).

4. Interpretar no contexto do problema em investigação.: Sugestão de interpretação (para o caso em que X é um peso):

«a variância do peso (é / não é) significativamente diferente de \(\sigma^2_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

Se o TH é para o desvio padrão então a interpretação é análoga.