estimação pontual

Neste capítulo, considera-se que a população é distribuição normal, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Para a média populacional tem-se:

• o estimador habitual da média populacional, $\mu$, é: $\hat \mu = \bar X$

• a estimativa habitual da média populacional, $\mu$, é: $\hat \mu = \bar x$.

Para a variância populacional tem-se o «estimador corrigido»:

• o estimador habitual da variância populacional, $\sigma^2$, é: $\hat \sigma^2 = S_c^2$

• a estimativa habitual da variância populacional, $\sigma^2$, é: $\hat \sigma^2 = s_c^2$

Também se pode considerar o estimador e estimativa não corrigida, $\hat \sigma^2 = S^2$ e $\hat \sigma^2 = s^2$, respectivamente, quando n é elevado.

corrigido e não corrigido

Os estimadores da variância populacional, $\sigma^2$, corrigido e não corrigido são, respetivamente:

$$S_c^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2$$

$$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2$$

propriedades

A relação entre ambos é

$$S_c^2 = \frac{n}{n-1} S^2$$

ou seja, o estimador corrigido, $\hat \sigma^2 = S_c^2$, apresenta um valor superior ao não corrigido.

Caso a dimensão n, da amostra, seja elevada então os estimadores pouco diferem pois

$$\frac{1}{n} \approx \frac{1}{n-1}\,.$$

O estimador corrigido é um estimador centrado. Recorda-se a definição:

Um bom estimador deve ser tal que, ao tomarmos uma grande quantidade

de amostras e calcularmos as médias das respetivas estimativas,

esta deve aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro.

Neste caso, o estimador diz-se centrado, ou não enviesado.

Caso contrário diz-se enviesado.

Usando notação matemática, indica que o estimador corrigido é centrado

$$E[ S^2_c ] = \sigma^2$$

Porém, o estimador (não corrigido), não é centrado:

$$E[ S^2 ] \neq \sigma^2$$