estimação pontual

Neste capítulo, considera-se que a população é distribuição normal, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

Para a média populacional tem-se:

  • o estimador habitual da média populacional, \(\mu\), é: \(\hat \mu = \bar X\)

  • a estimativa habitual da média populacional, \(\mu\), é: \(\hat \mu = \bar x\).

Para a variância populacional tem-se o «estimador corrigido»:

  • o estimador habitual da variância populacional, \(\sigma^2\), é: \(\hat \sigma^2 = S_c^2\)

  • a estimativa habitual da variância populacional, \(\sigma^2\), é: \(\hat \sigma^2 = s_c^2\)

Também se pode considerar o estimador e estimativa não corrigida, \(\hat \sigma^2 = S^2\) e \(\hat \sigma^2 = s^2\), respectivamente, quando n é elevado.

corrigido e não corrigido

Os estimadores da variância populacional, \(\sigma^2\), corrigido e não corrigido são, respetivamente:

\[S_c^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2\]
\[S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2\]

propriedades

A relação entre ambos é

\[S_c^2 = \frac{n}{n-1} S^2\]

ou seja, o estimador corrigido, \(\hat \sigma^2 = S_c^2\), apresenta um valor superior ao não corrigido.

Caso a dimensão n, da amostra, seja elevada então os estimadores pouco diferem pois

\[\frac{1}{n} \approx \frac{1}{n-1}\,.\]

O estimador corrigido é um estimador centrado. Recorda-se a definição:

Um bom estimador deve ser tal que, ao tomarmos uma grande quantidade
de amostras e calcularmos as médias das respetivas estimativas,
esta deve aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro.
Neste caso, o estimador diz-se centrado, ou não enviesado.
Caso contrário diz-se enviesado.

Usando notação matemática, indica que o estimador corrigido é centrado

\[E[ S^2_c ] = \sigma^2\]

Porém, o estimador (não corrigido), não é centrado:

\[E[ S^2 ] \neq \sigma^2\]