amplitude do IC

Como visto em interpretação do intervalo a amplitude de um IC pode ser vista com uma medida da precisão da estimativa \(\hat \mu = \bar x\).

Pode ser útil encontrar um IC com uma dada precisão, isto é, um IC com uma amplitude definida.

Uma das maneiras de o conseguir é variando o n, a dimensão da amostra.

IC para a média populacional

Tendo em conta os pressupostos deste capítulo:

  • \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\): os dados são bem modelados por uma distribuição normal;

  • \(\sigma^2\) é conhecida: a variância populacional é fornecida no enunciado.

o IC é dado por

\[IC_{1-\alpha}(\mu) = \left] \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right[\]

procedimento

Suponha que o enunciado pretende uma amplitude A (um nr real).

  1. Calcular a amplitude do \(IC_{1-\alpha}(\mu)\):

\[\text{amplitude}= \left( \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \right) - \left( \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \right)\]

ou ainda

\[\text{amplitude}= 2 z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

  1. Fornecendo \(z_{1-\alpha/2}\) e \(\sigma\) resolve-se em ordem a n:

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \text{(amplitude com n)} = A & \Leftrightarrow & \\ 2 z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} = A & \Leftrightarrow & \\ 2 z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{A} = \sqrt n & \Leftrightarrow & \\ n = \left(2 z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{A} \right)^2 \end{eqnarray*}\end{split}\]

escolhendo sempre o maior n (ex.: se n=3.1 então n=4).