distribuição normal

Uma distribuição normal é uma distribuição de variável contínua usada para modelar a atribuição de probabilidades a v.a. como alturas mas, principalmente, pelo seu papel em estatística inferencial.

São descritas por uma gama de curvas em forma de sino, simétricas, assumindo vários níveis de achatamento e posições na reta real:

descrição 

A distribuição normal é uma distribuição contínua. A altura de um indivíduo de uma população é um exemplo típico de v.a. com distribuição normal.

Uma v.a. $X$ que segue uma distribuição normal é caracterizada por dois parâmetros:

$\mu$ : a média populacional (pronuncia-se “miu”); indica a localização central;
$\sigma^2$ : a variância populacional (pronuncia-se “sigma quadrado”); indica dispersão.

O desvio padrão populacional de $X$ normal representa-se por $\sigma$ e sendo, naturalmente, obtido pela raiz quadrada da variância $\sigma^2$ .

A notação habitual é

$X \sim N(\mu,\;\sigma^2)$

sendo esta notação equivalente a dizer que a função densidade de probabilidade é dada por

$f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Veja mais sobre esta complexa função em função densidade normal. A função de distribuição não tem uma expressão matemática simples sendo obtida em calculadoras, software ou tabelas.

A calculadora gráfica, ou software, determinam probabilidades em intervalos fechados $[a;b]$ , calculando a área entre o eixo XX e a curva $f(x)$ como o exemplo mostra:

Através de variações nos parâmetros $\mu$ e $\sigma$ conseguem-se diferentes curvas em forma de sino

usar desvio-padrão ou variância 

As variâncias de No estudo estatístico, por vezes fala-se em desvio padrão, $\sigma$ , e outras em variância, $\sigma^2$ . É importante usar uma única convenção e neste documento usa-se o seguinte:

a notação $X \sim N(\mu,\;\sigma^2)$ refere sempre a variância; por exemplo, $N(2,\; 100)$ indica uma distribuição normal de média 2 e variância 100;
nas calculadora e software, é sempre fornecido o desvio padrão; no exemplo anterior, é sempre fornecido o valor $\sigma=10$ .

exemplos 

As seguintes variáveis aleatórias são bem modeladas por uma distribuição normal:

X = altura de um homem português com 30 anos (Portugueses entre os que mais cresceram)

$X \sim N(172.9,\;100)$

Quando se pretende saber qual a probabilidade de uma pessoa ter 1,6 m (160cm) devemos recordar que no modelo contínuo:

$P(X=a) = 0$

para qualquer constante a. Assim, como saber qual a probabilidade de uma pessoa «ter 1 metro e 60 cm»? A resposta passa por interpretar «ter 160cm» como algo entre «159.5 cm» e «160.5 cm»:

$P(\text{pessoa ter 1,60 m}) = P(159.5 \le X \le 160.5) \approx 0.017$

ou seja, aproximadamente 1.7% dos portugueses «têm 1,6 m» no sentido abrangente.

Outro exemplo de v.a. com distibuição normal:

X = peso de um elefante-da-savana , em Kg

$X \sim N(9000,\;2000^2)$

soma de duas v.a. normais 

Sejam $X$ e $Y$ duas v.a. independentes tais que

$X \sim N(\mu_1;\sigma_1^2)\;\; \mbox{e}\;\; Y \sim B(\mu_2;\sigma_2^2)$

Assim, nestas condições,

$X+Y \sim N(\mu_1 + \mu_2,\sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

NOTA: nas máquinas e software tem que se usar o desvio da soma de variâncias: $\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$

soma de várias v.a. normais 

Tendo uma coleção de variáveis aleatórias (ver amostra aleatória)

$X_1, \ldots, X_n$

e sendo cada uma das v.a. caracterizada pela mesma distribuição normal $X \sim N(\mu,\; \sigma^2)$ então a «distribuição da soma de normais, independentes, é uma normal»:

$X_1+\cdots+X_n \sim N(n \, \mu ,\; n \, \sigma^2)$

A soma tem estes parâmetros:

$n \mu$ (média populacional para a soma) vem de somar $\mu + \mu + \cdots + \mu$ , n vezes.
$n \sigma^2$ (variância populacional para a soma) vem de somar $\sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2$ , n vezes.

NOTA: nas máquinas e software usar o desvio da soma das n variâncias iguais: $\sqrt{ n \, \sigma^2}$ .

média de várias v.a. normais 

A média amostral aleatória, $\bar X$ , também depende de uma soma de v.a.:

$\bar X = \frac{1}{n} \left( X_1+\cdots+X_n \right) \sim N\left( \mu; \frac{\sigma^2}{n} \right)$

Assim, $\bar X$ , tem estes parâmetros:

$\mu$ (valor esperado da «média amostral aleatória») vem de $\frac{1}{n}(\mu + \mu + \cdots + \mu)=\mu$ .
$\frac{\sigma^2}{n}$ (variância populacional da v.a. média amostral) vem de

$\begin{split}\begin{eqnarray*} Var( \bar X) & = & Var\left( \frac{1}{n} (X_1+\cdots+X_n) \right) \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 \, Var( X_1+\cdots+X_n) \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 \, (n\,\sigma^2) \\ & = & \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}\end{split}$

Com base na propriedade anterior, a seguinte propriedade é usada na estatística inferencial,

$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0;1)$

em que N(0,;1) é a distribuição normal padrão Z. O divisor $\sigma/\sqrt{n}$ é o desvio padrão de $\bar X$ .

função densidade normal 

A função $f(x) = e^{-x}$ tem a forma de curva de sino. Podemos ver duas curvas, uma centrada em $\mu=0$ e outra centrada em $\mu=2$ :

Para ser uma função densidade de probabilidade deve exitir área igual a 1. Para acomodar:

deslocação do centro para qualquer parte da reta real: $x-\mu$
para acomodar maior ou menor dispersão então divide-se por $\sigma$ : $\frac{x-\mu}{\sigma}$
área = 1 é necessário $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ e 1/2

resultando na função densidade da distribuição normal:

$f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Não existe uma expressão matemática simples para a função distribuição $F(x)=P(X \le x)$ sendo esta obtida por métodos numéricos sendo o resultado obtido em tabelas, calculadora gráfica ou softwares.

normal centrada e reduzida 

Chama-se «centrar e reduzir» à operação ilustrada por

$\frac{X-\mu}{\sigma}$

em que $\mu$ e $\sigma$ são a média e desvio padrão da v.a. X. Considerando que $X \sim N(\mu; \sigma^2)$ então

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,\; 1)$

em que $N(0,\; 1)$ se chama de distribuição normal padrão Z (consulte mais propriedades e notação nessa página).

São duas as razões desta operação tão frequente em estatística:

do ponto de vista de quem não tem acesso a calculadora gráfica, software local ou software online, esta operação permite a consulta de tabelas pois permite que o cálculo de uma probabilidade em X seja traduzido no cálculo de uma probabiildade em Z com recurso a tabelas em papel.
do ponto de vista teórico, o «centrar e reduzir», tornou-se um método fulcral na inferência estatística.

O exemplo mostra uma utilidade para a noção de «centrar e reduzir»:

exemplo

Se $X \sim N(\mu=2; \sigma^2=100)$ , então, subtraindo e dividindo assim

$P(X \le 5) = P\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{5-2}{10}\right) = P(Z \le 3/10)$

e $P(Z \le 3/10) \approx 0.6293$ . Este valor é obtido numa tabela da distribuição normal padrão Z; consulte a 3ª coluna da tabela N(0;1) para confirmar o resultado 0.6293.

Notas:

Por ser muito frequente expressar $P(Z \le 3/10)$ usa-se a notação $\Phi(3/10)$ para o mesmo efeito.
Consulte outros casos aqui.

quantil da normal 

Um quantil de ordem p é um valor real, denotado por $x_p$ , associado a uma probabilidade p verificando

$P(X \le x_p) = p$

Por exemplo, o quantil de ordem 0.025 (que se representa por $x_{0.025}$ ) de uma $normal(0,\;1)$ é $x_{0.025}=1.96$ pois

$P(X \le 1.96) = 0.025$

No caso da distribuição normal, os quantis são obtidos por uma destas opções:

calculadoras gráficas (funções do tipo inv.normal(prob, média, desvio))

consulta da tabela da normal (caso não disponha de calculadora gráfica)

Mais detalhes e propriedades em:

R Project 

Tomemos o exemplo: determinar $P(X \le 3)$ quando $X$ segue uma $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

pnorm(3,4,10) #nota: usar o desvio: 10
[1] 0.4601722

consulta da tabela da normal 

Cálculo de uma probabilidade

$X \sim N(\mu=2,\, \sigma^2=100)$

então as probabilidades podem ser calculadas com a:

consulta da 3ª coluna da tabela N(0;1)

Os casos possíveis são:

$P(X \le 5) = \Phi(\frac{5-2}{10}) = \Phi(3/10) \approx 0.6293$ ;
$P(X \ge 5) = 1 - \Phi(\frac{5-2}{10}) = 1- \Phi(3/10) \approx 1 - 0.6293 \approx 0.3707$ ;
$P(3 \le X \le 5) = \Phi(\frac{5-2}{10}) - \Phi(\frac{3-2}{10}) = \Phi(3/10) - \Phi(1/10) \approx 0.6293 - 0.5398 \approx 0.0895$ .

Cálculo de um quantil

um quantil x é um valor no eixo X associado a uma probabilidade p para trás: dado p qual o x tal que $P(X \le x) = p$ .

Por exemplo, para determinar o quantil $x_{0.25}$ da distribuição acima $X \sim N(\mu=2,\, \sigma^2=100)$ :

Procura-se na

tabela N(0;1)
na terceira página
1ª coluna

a percentagem 0.25. Deve encontrar: -0.674. Agora resolve-se:

$-0.674 = \frac{x - 2}{10} \quad \text{a média é 2 e o desvio padrão é 10}$

Resolve-se: $x=-0.674 \times 10 + 2 = -4.74$

Justificação dos procedimentos acima:

consulte normal centrada e reduzida.

Recorda-se que:

a distribuição normal é contínua;
sendo contínua, apenas intervalos $a \le X \le b$ podem ter probabilidade positiva ;
as probabilidades pontuais, como $P(X = 3)$ , são sempre zero pois a área definida por um ponto e o eixo XX é zero.

texas TI Nspire CX 

determinar $P(X \le 3)$ quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

num documento ou rascunho
Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição normal;
depois colocar média=4, desvio=10, limite inferior=-100000 e limite superior= 3;
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

determinar $P(X \ge 3)$ quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

num documento ou rascunho
Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição normal..
depois colocar média=4, desvio=10, limite inferior=3 e limite superior=100000
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

nota: esta máquina determina probabilidades da forma $P(a \le X \le b)$ em que «a» e «b» são os limites inferior e superior do intervalo.

determinar o quantil $x_{0.25}$ da distribuição:

Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função inversa da distribuição normal.
depois colocar média=4, desvio=10, p=0.25
Deve obter -2.744898
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

Baixe o manual da NSpire: TI-Nspire Reference Guide PT.

texas TI 84 e TI 83 

Nota: -1E99 e 1E99 especificam «infinito».

determinar $P(X \le 3)$ quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS).
Selecionar normalcdf e escrever normalcdf(-10^10, 3, 4, 10) (atenção à ordem)
Deve obter 0.4601722
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

determinar $P(X \ge 3)$ quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS).
Selecionar normalcdf e escrever normalcdf(3, 10^10, 4, 10) (atenção à ordem)
Deve obter 0.5398278
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

determinar o quantil $x_{0.25}$ da distribuição:

Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS).
Selecionar invnormal e escrever invnormal(4, 10, 0.25) (verifique a ordem)
Deve obter -2.744898
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

casio FX 9860gii 

Exemplo: $X$ segue uma quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

Menu => Estatistica => F5 (DIST); F1 (NORMAL); F2 (Ncd)
Data: Var ou List (ver botões em baixo)
Se P(X<=3): Data: Variable; Lower=-100000; Upper=3; Mean=4; Stdev=10
Se P(X>=3): Data: Variable; Lower=3; Upper=100000; Mean=4; Stdev=10
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

Pelo comando:

P(X>=3) = NormCD(-10000, 3, 10, 4) <= atenção: desvio primeiro.

Determinar o quantil $x_{0.25}$ da distribuição:

Menu => Estatistica => F5 (DIST); F1 (NORMAL); (aqui inversa)
Introduzir média = 4, desvio padrão = 10 e percentagem = 0.25
Deve obter -2.744898
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

casio FX CG 20 

Exemplo: $X$ segue uma quando $N(\mu=4, \sigma^2=100)$ :

Menu => Estatistica => F5 (DIST); F1 (NORMAL); F2 (Ncd)
Data: Var ou List (ver botões em baixo)
Se P(X<=3): Data: Variable; Lower=-100000; Upper=3; Mean=4; Stdev=10
Se P(X>=3): Data: Variable; Lower=3; Upper=100000; Mean=4; Stdev=10
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

Pelo comando:

P(X>=3) = NormCD(-10000, 3, 10, 4) <= atenção: desvio primeiro.

Determinar o quantil $x_{0.25}$ da distribuição:

Menu => Estatistica => F5 (DIST); F1 (NORMAL); (aqui inversa)
Introduzir média = 4, desvio padrão = 10 e percentagem = 0.25
Deve obter -2.744898
use sempre o desvio padrão na calculadora mesmo que lhe seja dada a variância.

Estas instruções dependem de marcas ou versões de calculadoras ou software.

Referências 

https://influentialpoints.com/Training/normal_distribution.htm