teste e intervalo t para a média 

Usa-se quando a variância populacional, \(\sigma^2\), é desconhecida.

Testes e intervalo de confiança para a média (\(\mu\)) de uma população normal com variância desconhecida (\(\sigma^2\)).

Em notação matemática:

\(X \sim N(\mu,\; \sigma^2)\): os dados são bem modelados por uma distribuição normal
\(\sigma^2\) é desconhecida do problema em investigação (ver variância populacional)
\(s_c\) é obtido no problema em investigação

e nestas condições, a variável fulcral é

\[T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; \sim \; t_{n-1}\]

que segue distribuição de amostragem t-Student.

procedimento para obter o IC 

O procedimento, tendo em conta os pressupostos

\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\): os dados são bem modelados por uma distribuição normal;
\(\sigma^2\) é desconhecida: a variância populacional não é fornecida no enunciado.
\(s_c\) é obtido no problema em investigação

\[IC_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar x - t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}},\; \bar x + t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}} \right]\]

em que, com base na distribuição de amostragem t-Student,

tabelas: \(t_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha/2)\)
calculadoras: \(t_{n-1,1-\alpha/2} = \text{INV.T}(1-\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é sempre positivo)

O grau de confiança, \(1 - \alpha\), é colocado no centro da distribuição \(t_{n-1}\).

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) (X segue uma distribuição normal)
\(\sigma^2\) desconhecido (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece \(s_c\) (desvio padrão corrigido)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)
teste unilateral à direita:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0\)
teste unilateral à esquerda:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0\)

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as médias amostral e populacional.

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de \(\mu\) é o valor real \(\mu_0\) indicado no problema em investigação.

\[T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim t_{n-1}\]

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro \(\mu\) é o valor real \(\mu_0\).

O valor da estatística de teste é obtido com base na média e desvio padrão amostral corrigido e no valor \(\mu_0\):

\[t_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{s_c/\sqrt{n}}\]

4. Calcular o p-value: No que se segue, \(F_{t,n-1}(t) = \text{CDF.T}(lower=-\infty, upper=t,\; df=n-1)\) em que lower, upper e df (degrees of freedom ou graus de liberdade) são valores habitualmente pedidos nas calculadoras.

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se \(t_{obs}\) é negativo então
- tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times F_{t,n-1}(t_{obs})\)
- calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.T}(lower=-\infty,\;upper=t_{obs},\;n-1)\)
se \(t_{obs}\) é positivo então
- tabelas: \(\text{p-value} = 2 \times (1 - F_{t,n-1}(t_{obs}))\)
- calculadoras: \(\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.T}(lower=t_{obs},\;upper=+\infty,\;n-1)\)

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de \(t_{obs}\) ser positivo ou negativo:

tabelas: \(\text{p-value} = 1 - F_{t,n-1}(t_{obs})\)

calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.T}(lower=t_{obs},\;upper=+\infty,\;n-1)\)

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de \(t_{obs}\) ser positivo ou negativo:

tabelas: \(\text{p-value} = F_{t,n-1}(t_{obs})\)

calculadoras: \(\text{p-value} = \text{CDF.T}(lower=-\infty,\;upper=t_{obs},\;n-1)\)

5. Concluir

se \(\text{p-value} \le \alpha\) então rejeita-se H0 em favor de H1
se \(\text{p-value} > \alpha\) então não se rejeita H0

6. Interpretar no contexto do problema em investigação

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) (X segue uma distribuição normal)
\(\sigma^2\) (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece \(s_c\) (desvio padrão corrigido)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação

teste bilateral:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)
teste unilateral à direita:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0\)
teste unilateral à esquerda:
- \(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0\)

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as médias amostral e populacional.

A notação «\(| \; H_0\)» designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de \(\mu\) é o valor real \(\mu_0\) indicado no problema em investigação.

\[T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim t_{n-1}\]

3. Obter o valor da estatística de teste: Com base na média amostral e valor \(\mu_0\):

\[t_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{s_c/\sqrt{n}}\]

4. Obter a região crítica: A região crítica é um intervalo que contendo \(t_{obs}\) então deve rejeitar-se H0.

No que se segue, \(F^{-1}_{t,n-1}(prob) = \text{INV.T}(prob,\; df=n-1)\) em que prob é uma probabilidade em \([0,\; 1]\) e df são degrees of freedom (ou graus de liberdade).

4a. região crítica bilateral

tabelas: \(t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha/2)\)
calculadoras: \(t_{critico} = \text{INV.T}(1-\alpha/2,\;n-1)\) (o resultado é sempre positivo)

\(RC = ]-infty,\; t_{critico}[ \;\cup\; ]t_{critico},\; +\infty[\).

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: \(t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha)\)
calculadoras: \(t_{critico} = \text{INV.T}(1-\alpha,\;n-1)\) (o resultado é sempre positivo)

\(RC = ]t_{critico},\; +\infty[\)

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: \(t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(\alpha)\)
calculadoras: \(t_{critico} = \text{INV.T}(\alpha,\;n-1)\) (o resultado é sempre negativo)

\(RC = ]-\infty,\; t_{critico}[\)

5. Concluir

se \(t_{obs}\) pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se \(t_{obs}\) não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

6. Interpretar no contexto do problema em investigação:

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=5\%\) e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

\(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) (X segue uma distribuição normal)
\(\sigma^2\) (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece \(s_c\) (desvio padrão corrigido)
o TH a efetuar é do tipo bilateral (\(H_1:\; \mu \neq \mu_0\))

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: \(\mu_0\) é um valor real obtido no problema em investigação

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

\(H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0\)

2. Usar ou determinar o IC: (Ver também procedimento para obter o IC.)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

\[IC_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar x - t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}},\; \bar x + t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}} \right]\]

3. Concluir

se \(\mu_0\) não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se \(\mu_0\) pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de \(\mu_0\) considerando o nível de significância \(\alpha=(1\%,5\%,10\%)\) e com base na amostra considerada.»

Recorda-se: o método do IC só é aplicável ao teste bilateral.