teste e intervalo t para a média 

Usa-se quando a variância populacional, $\sigma^2$ , é desconhecida.

Testes e intervalo de confiança para a média ( $\mu$ ) de uma população normal com variância desconhecida ( $\sigma^2$ ).

Em notação matemática:

$X \sim N(\mu,\; \sigma^2)$ : os dados são bem modelados por uma distribuição normal
$\sigma^2$ é desconhecida do problema em investigação (ver variância populacional)
$s_c$ é obtido no problema em investigação

e nestas condições, a variável fulcral é

$T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; \sim \; t_{n-1}$

que segue distribuição de amostragem t-Student.

procedimento para obter o IC 

O procedimento, tendo em conta os pressupostos

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ : os dados são bem modelados por uma distribuição normal;
$\sigma^2$ é desconhecida: a variância populacional não é fornecida no enunciado.
$s_c$ é obtido no problema em investigação

$IC_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar x - t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}},\; \bar x + t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}} \right]$

em que, com base na distribuição de amostragem t-Student,

tabelas: $t_{n-1,1-\alpha/2} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $t_{n-1,1-\alpha/2} = \text{INV.T}(1-\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é sempre positivo)

O grau de confiança, $1 - \alpha$ , é colocado no centro da distribuição $t_{n-1}$ .

TH com base no p-value

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ desconhecido (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece $s_c$ (desvio padrão corrigido)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação.

teste bilateral:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as médias amostral e populacional.

A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim t_{n-1}$

3. Obter o valor da estatística de teste: Sob H0, o valor do parâmetro $\mu$ é o valor real $\mu_0$ .

O valor da estatística de teste é obtido com base na média e desvio padrão amostral corrigido e no valor $\mu_0$ :

$t_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{s_c/\sqrt{n}}$

4. Calcular o p-value: No que se segue, $F_{t,n-1}(t) = \text{CDF.T}(lower=-\infty, upper=t,\; df=n-1)$ em que lower, upper e df (degrees of freedom ou graus de liberdade) são valores habitualmente pedidos nas calculadoras.

4a. Calcular o p-value de um teste bilateral

se $t_{obs}$ é negativo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times F_{t,n-1}(t_{obs})$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.T}(lower=-\infty,\;upper=t_{obs},\;n-1)$
se $t_{obs}$ é positivo então
- tabelas: $\text{p-value} = 2 \times (1 - F_{t,n-1}(t_{obs}))$
- calculadoras: $\text{p-value} = 2 \times \text{CDF.T}(lower=t_{obs},\;upper=+\infty,\;n-1)$

4b. Calcular o p-value de um teste unilateral à direita

Independentemente de $t_{obs}$ ser positivo ou negativo:

tabelas: $\text{p-value} = 1 - F_{t,n-1}(t_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.T}(lower=t_{obs},\;upper=+\infty,\;n-1)$

4c. Calcular o p-value de um teste unilateral à esquerda

Independentemente de $t_{obs}$ ser positivo ou negativo:

tabelas: $\text{p-value} = F_{t,n-1}(t_{obs})$

calculadoras: $\text{p-value} = \text{CDF.T}(lower=-\infty,\;upper=t_{obs},\;n-1)$

5. Concluir

se $\text{p-value} \le \alpha$ então rejeita-se H0 em favor de H1
se $\text{p-value} > \alpha$ então não se rejeita H0

6. Interpretar no contexto do problema em investigação

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base na região crítica 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece $s_c$ (desvio padrão corrigido)

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação

teste bilateral:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$
teste unilateral à direita:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu > \mu_0$
teste unilateral à esquerda:
- $H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu < \mu_0$

2. Identificar a estatística de teste: A estatístisca de teste relaciona as médias amostral e populacional.

A notação « $| \; H_0$ » designa «sob H0», ou seja, sendo H0 verdade então o valor de $\mu$ é o valor real $\mu_0$ indicado no problema em investigação.

$T = \frac{\bar X - \mu}{S_c/\sqrt{n}} \; | \; H_0 \; \sim t_{n-1}$

3. Obter o valor da estatística de teste: Com base na média amostral e valor $\mu_0$ :

$t_{obs} = \frac{\bar x - \mu_0}{s_c/\sqrt{n}}$

4. Obter a região crítica: A região crítica é um intervalo que contendo $t_{obs}$ então deve rejeitar-se H0.

No que se segue, $F^{-1}_{t,n-1}(prob) = \text{INV.T}(prob,\; df=n-1)$ em que prob é uma probabilidade em $[0,\; 1]$ e df são degrees of freedom (ou graus de liberdade).

4a. região crítica bilateral

tabelas: $t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha/2)$
calculadoras: $t_{critico} = \text{INV.T}(1-\alpha/2,\;n-1)$ (o resultado é sempre positivo)

$RC = ]-infty,\; t_{critico}[ \;\cup\; ]t_{critico},\; +\infty[$ .

4b. região crítica unilateral à direita

tabelas: $t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(1-\alpha)$
calculadoras: $t_{critico} = \text{INV.T}(1-\alpha,\;n-1)$ (o resultado é sempre positivo)

$RC = ]t_{critico},\; +\infty[$

4c. região crítica unilateral à esquerda

tabelas: $t_{critico} = F^{-1}_{t,n-1}(\alpha)$
calculadoras: $t_{critico} = \text{INV.T}(\alpha,\;n-1)$ (o resultado é sempre negativo)

$RC = ]-\infty,\; t_{critico}[$

5. Concluir

se $t_{obs}$ pertence à região crítica então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $t_{obs}$ não pertence à região crítica então não se rejeita H0.

6. Interpretar no contexto do problema em investigação:

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente maior que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»
«o peso médio (é / não é) significativamente menor que $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=5\%$ e com base na amostra considerada.»

TH com base no método do IC 

Antes de avançar é necessária a verificação dos pressupostos:

$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ (X segue uma distribuição normal)
$\sigma^2$ (a variância populacional é desconhecida)
o problema em investigação fornece $s_c$ (desvio padrão corrigido)
o TH a efetuar é do tipo bilateral ( $H_1:\; \mu \neq \mu_0$ )

1. Especificar a hipóteses H0 e H1: $\mu_0$ é um valor real obtido no problema em investigação

O método do IC apenas se aplica ao teste bilateral:

$H_0:\, \mu = \mu_0 \quad vs \quad H_1:\, \mu \neq \mu_0$

2. Usar ou determinar o IC: (Ver também procedimento para obter o IC.)

Se o problema em investigação já dispõe de um IC passa-se para a etapa seguinte.

$IC_{1-\alpha}(\mu) = \left[ \bar x - t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}},\; \bar x + t_{n-1,1-\alpha/2} \frac{s_c}{\sqrt{n}} \right]$

3. Concluir

se $\mu_0$ não pertence ao IC então rejeita-se H0 em favor de H1,
se $\mu_0$ pertence ao IC então não se rejeita H0.

4. Interpretar no contexto do problema em investigação

Sugestão de interpretação para o caso em que X é um peso:

«o peso médio (é / não é) significativamente diferente de $\mu_0$ considerando o nível de significância $\alpha=(1\%,5\%,10\%)$ e com base na amostra considerada.»

Recorda-se: o método do IC só é aplicável ao teste bilateral.