distribuição normal padrão Z 

A distribuição normal padrão tem média 0 e variância 1, \(Z \sim N(0,\;1)\), podendo a probabilidade ou quantis ser obtidos com base em tabelas da N(0, 1) ou da forma usual com software e calculadoras.

Costuma usar-se a letra \(\Phi\) para representar a função de distribuição:

\[\Phi(z) = P(Z \le z)\]

e, talvez, 1.96 seja o quantil mais usado (\(z_{0.975} \approx 1.96\) ou \(P(Z \le 1.96) = 0.975\)) pois permite a construção de um certo tipo de intervalo de confiança a 95% de confiança.

quantis usados em inferência 

Os quantis da distribuição normal padrão, usados em inferência, denotam-se por

quantil	descrição
\(z_{\alpha}\)	quantil z até ao qual se tem probabilidade \(\alpha\)
\(z_{\alpha/2}\)	quantil z até ao qual se tem probabilidade \(\alpha/2\)
\(z_{1-\alpha}\)	quantil z até ao qual se tem probabilidade \(1-\alpha\)
\(z_{1-\alpha/2}\)	quantil z até ao qual se tem probabilidade \(1-\alpha/2\)

Os valores usuais para

\(\alpha\) são 5%, 1% ou 10% usados em teste de hipóteses;
\(1-\alpha\) são 95%, 99% ou 90% usandos em intervalo de confiança.

Em notação com \(\Phi\):

\(\Phi(z_{\alpha}) = \alpha\)
\(\Phi(z_{\alpha/2}) = \alpha/2\)
\(\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha\)
\(\Phi(z_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha/2\)

exemplo 

Para \(\alpha = 0.05\) tem-se

quantil	(4 decimais)	comando em R
\(z_{0.05}\)	-1.6449	qnorm(0.05,0,1)
\(z_{0.025}\)	-1.96	qnorm(0.025,0,1)
\(z_{0.95}\)	+1.6449	qnorm(0.95,0,1)
\(z_{0.975}\)	+1.96	qnorm(0.975,0,1)

A caixa abaixo permite usar R para obter outros quantis de \(Z \sim N(0;\,1)\):

(nota: por vezes pode ser necessário usar cat( qnorm(0.975, 0, 1) ))

R Project 

Pretende-se encontrar \(z_{0.975}\):

qnorm(0.975, 0, 1)

Excel 

Sendo \(Z \sim N(0,\;1)\) então, no Excel em português,

=DIST.NORMAL(1,96; 0; 1; VERDADEIRO) determina P(Z <= 1.96) resultando em 0.975, aproximadamente;
=INV.NORMAL(0,025; 0; 1) determina q tal que P(Z <= q) = 0.025 resultando em -1.96, aproximadamente;
=INV.NORMAL(0,975; 0; 1) determina q tal que P(Z <= q) = 0.975 resultando em 1.96, aproximadamente;

Consulte, também, ficheiros Excel já preparados.