variância populacional

A variância populacional é um valor de dispersão* do centro de uma dada função de distribuição.

A «variância populacional» pode ser vista como a variância do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da variância e desvio amostrais, $s^2$ e $s$, que precisam de uma amostra de valores e não de um modelo matemático.

notação e conceitos

• a variância populacional é uma medida de dispersão face à média populacional

  • a média populacional, $\mu=E[X]$

• a variância populacional mede a dispersão quadrática média:

  • $Var[X] = E[ (X- \mu)^2 ]$

• é frequente a notação $\sigma^2 = Var[X]$

  • a notação $\sigma^2$ é comum em muitas situações e poupa espaço;

caso discreto finito

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a variância populacional através de

$$Var[X] = (x_1-\mu)^2 \times f(x_1) + \cdots + (x_n-\mu)^2 \times f(x_n)$$

sendo $\mu=E[X]$ e $f(x_1)=P(X=x_1)$.

propriedades de $Var[X]$

As seguintes propriedades são válidas para qualquer v.a. ou distribuição.

Considere a e b como constantes (a e b são números reais).

• $Var[a]=0$

  • a variância de uma constante a é zero pois uma constante não varia;

• $Var[aX]=a^2 Var[X]$

  • a variância requer uma soma de quadrados logo a constante a precisa de um quadrado;

• $Var[X_1 + X_2]=Var[X_1] + Var[X_2]$

  • se as v.a. são independentes então a variância da soma é a soma das variâncias;

• $Var[aX \pm b]=a^2 Var[X]$

  • a variância não é linear: não se podem passar as constantes para «fora»; esta propriedade surge das anteriores;

• $Var[X] = E[X^2] - \left(E[X]\right)^2$

  • no contexto deste wiki, esta propriedade tem um carácter pedagógico pois relaciona a variância com a média.

• a variância vem expressa no quadrado da unidade da v.a.; se a v.a. está em metros, então a variância vem expressa em metro quadrado.

Dica

A variância, sendo uma medida de dispersão, não pode ser negativa.

desvio padrão populacional

• o desvio padrão populacional, isto é, o desvio padrão do modelo matemático escolhido é obtido da variância

  • $\sigma = \sqrt{Var[X]}$;

• não se podem somar «desvios padrão» porém podem-se somar variâncias de v.a. independentes;

  • por esta razão é necessário o conceito de variância;

• os desvio padrão de duas populações podem ser comparados;

• o desvio padrão vem expresso nas mesmas unidades da v.a..