variância populacional

A variância populacional é um valor de dispersão* do centro de uma dada função de distribuição.

A «variância populacional» pode ser vista como a variância do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da variância e desvio amostrais, \(s^2\) e \(s\), que precisam de uma amostra de valores e não de um modelo matemático.

notação e conceitos

  • a variância populacional é uma medida de dispersão face à média populacional

  • a variância populacional mede a dispersão quadrática média:

    • \(Var[X] = E[ (X- \mu)^2 ]\)

  • é frequente a notação \(\sigma^2 = Var[X]\)

    • a notação \(\sigma^2\) é comum em muitas situações e poupa espaço;

caso discreto finito

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a variância populacional através de

\[Var[X] = (x_1-\mu)^2 \times f(x_1) + \cdots + (x_n-\mu)^2 \times f(x_n)\]

sendo \(\mu=E[X]\) e \(f(x_1)=P(X=x_1)\).

propriedades de \(Var[X]\)

As seguintes propriedades são válidas para qualquer v.a. ou distribuição.

Considere a e b como constantes (a e b são números reais).

  • \(Var[a]=0\)

    • a variância de uma constante a é zero pois uma constante não varia;

  • \(Var[aX]=a^2 Var[X]\)

    • a variância requer uma soma de quadrados logo a constante a precisa de um quadrado;

  • \(Var[X_1 + X_2]=Var[X_1] + Var[X_2]\)

    • se as v.a. são independentes então a variância da soma é a soma das variâncias;

  • \(Var[aX \pm b]=a^2 Var[X]\)

    • a variância não é linear: não se podem passar as constantes para «fora»; esta propriedade surge das anteriores;

  • \(Var[X] = E[X^2] - \left(E[X]\right)^2\)

    • no contexto deste wiki, esta propriedade tem um carácter pedagógico pois relaciona a variância com a média.

  • a variância vem expressa no quadrado da unidade da v.a.; se a v.a. está em metros, então a variância vem expressa em metro quadrado.

Dica

A variância, sendo uma medida de dispersão, não pode ser negativa.

desvio padrão populacional

  • o desvio padrão populacional, isto é, o desvio padrão do modelo matemático escolhido é obtido da variância

    • \(\sigma = \sqrt{Var[X]}\);

  • não se podem somar «desvios padrão» porém podem-se somar variâncias de v.a. independentes;

    • por esta razão é necessário o conceito de variância;

  • os desvio padrão de duas populações podem ser comparados;

  • o desvio padrão vem expresso nas mesmas unidades da v.a..