variância populacional
A variância populacional é um valor de dispersão* do centro de uma dada função de distribuição.
A «variância populacional» pode ser vista como a variância do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da variância e desvio amostrais, \(s^2\) e \(s\), que precisam de uma amostra de valores e não de um modelo matemático.
notação e conceitos
a variância populacional é uma medida de dispersão face à média populacional
a média populacional, \(\mu=E[X]\)
a variância populacional mede a dispersão quadrática média:
\(Var[X] = E[ (X- \mu)^2 ]\)
é frequente a notação \(\sigma^2 = Var[X]\)
a notação \(\sigma^2\) é comum em muitas situações e poupa espaço;
caso discreto finito
Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a variância populacional através de
sendo \(\mu=E[X]\) e \(f(x_1)=P(X=x_1)\).
propriedades de \(Var[X]\)
As seguintes propriedades são válidas para qualquer v.a. ou distribuição.
Considere a e b como constantes (a e b são números reais).
\(Var[a]=0\)
a variância de uma constante a é zero pois uma constante não varia;
\(Var[aX]=a^2 Var[X]\)
a variância requer uma soma de quadrados logo a constante a precisa de um quadrado;
\(Var[X_1 + X_2]=Var[X_1] + Var[X_2]\)
se as v.a. são independentes então a variância da soma é a soma das variâncias;
\(Var[aX \pm b]=a^2 Var[X]\)
a variância não é linear: não se podem passar as constantes para «fora»; esta propriedade surge das anteriores;
\(Var[X] = E[X^2] - \left(E[X]\right)^2\)
no contexto deste wiki, esta propriedade tem um carácter pedagógico pois relaciona a variância com a média.
a variância vem expressa no quadrado da unidade da v.a.; se a v.a. está em metros, então a variância vem expressa em metro quadrado.
Dica
A variância, sendo uma medida de dispersão, não pode ser negativa.
desvio padrão populacional
o desvio padrão populacional, isto é, o desvio padrão do modelo matemático escolhido é obtido da variância
\(\sigma = \sqrt{Var[X]}\);
não se podem somar «desvios padrão» porém podem-se somar variâncias de v.a. independentes;
por esta razão é necessário o conceito de variância;
os desvio padrão de duas populações podem ser comparados;
o desvio padrão vem expresso nas mesmas unidades da v.a..