média amostral aleatória

\[\bar X = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)\]

Sendo \(\bar X\) uma va então podem-se calcular probabilidades. No contexto da UC, a média amostral aleatória relaciona-se com conceitos como:

propriedades

No que se segue, a palavra população é usada como sinónimo de distribuição de probabilidades (ver também população normal).

média populacional

A média populacional pode ser aplicada à média amostral enquanto variável aleatória:

  1. A média populacional de \(X\) é obtida pelo cálculo de \(E[X]\); em muitas situações usa-se o símbolo \(\mu\).

  2. A média populacional de \(\bar X\) é, também, \(\mu\) pois

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} E[\bar X] & = & E\left[ \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \right] \quad\leftarrow\text{passar a constante 1/n para fora de E} \\ & = & \frac{1}{n} E\left[ X_1 + X_2 + \cdots + X_n \right] \quad\leftarrow\text{E[da soma] é a soma dos E[]} \\ & = & \frac{1}{n} \left( E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n] \right) \quad\leftarrow E[X_i] = \mu \\ & = & \frac{1}{n} \left( \mu + \mu + \cdots + \mu \right) \quad\leftarrow \text{existem n valores } \mu \\ & = & \frac{1}{n} \left( n \times \mu \right) \quad\leftarrow \text{simplificar} \\ & = & \mu \end{eqnarray*}\end{split}\]

Comentário:

  • O valor esperado (E[]) para a v.a. média amostral, ou seja \(\bar X\), é igual à média da população.

  • Dito de outra forma: colecionando muitas amostras podemos calcular muitas médias de amostras. Se calcularmos média destes valores iremos obter algo próximo a \(\mu\).

variância populacional

A variância populacional pode ser aplicada à média amostral enquanto variável aleatória:

  1. A variância populacional de \(X\) é \(V[X]\); em muitas situações usa-se o símbolo \(\sigma^2\).

  2. A variância populacional de \(\bar X\) é \(\frac{\sigma^2}{n}\) pois

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} V[\bar X] & = & V\left[ \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \right] \quad\leftarrow\text{passar a constante 1/n para fora de V} \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 V\left[ X_1 + X_2 + \cdots + X_n \right] \quad\leftarrow\text{V[da soma independente] é a soma das V[]} \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( V[X_1] + V[X_2] + \cdots + V[X_n] \right) \quad\leftarrow V[X_i] = \sigma^2 \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 \right) \quad\leftarrow \text{existem n valores } \sigma^2 \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( n \times \sigma^2 \right) \quad\leftarrow \text{simplificar} \\ & = & \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}\end{split}\]

Comentários:

  • A variância populacional para v.a. média amostral, \(\bar X\), depende da variância populacional, \(\sigma^2\), e que será cada vez menor quanto maior for a amostra.

  • Dito de outra forma: colecionando muitas amostras podemos calcular muitas médias de amostras. Se calcularmos a variância destes valores iremos obter algo próximo a \(\sigma^2/n\).