média amostral aleatória

$$\bar X = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$$

Sendo $\bar X$ uma va então podem-se calcular probabilidades. No contexto da UC, a média amostral aleatória relaciona-se com conceitos como:

• distribuição normal (amostragem)

• intervalo de confiança

• teste de hipóteses

• teste e intervalo Z para a média

• teorema do limite central

• inferência em população genérica

• e outras situações.

propriedades

No que se segue, a palavra população é usada como sinónimo de distribuição de probabilidades (ver também população normal).

média populacional

A média populacional pode ser aplicada à média amostral enquanto variável aleatória:

1. A média populacional de $X$ é obtida pelo cálculo de $E[X]$; em muitas situações usa-se o símbolo $\mu$.

2. A média populacional de $\bar X$ é, também, $\mu$ pois

$$\begin{split}\begin{eqnarray*} E[\bar X] & = & E\left[ \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \right] \quad\leftarrow\text{passar a constante 1/n para fora de E} \\ & = & \frac{1}{n} E\left[ X_1 + X_2 + \cdots + X_n \right] \quad\leftarrow\text{E[da soma] é a soma dos E[]} \\ & = & \frac{1}{n} \left( E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n] \right) \quad\leftarrow E[X_i] = \mu \\ & = & \frac{1}{n} \left( \mu + \mu + \cdots + \mu \right) \quad\leftarrow \text{existem n valores } \mu \\ & = & \frac{1}{n} \left( n \times \mu \right) \quad\leftarrow \text{simplificar} \\ & = & \mu \end{eqnarray*}\end{split}$$

Comentário:

• O valor esperado (E[]) para a v.a. média amostral, ou seja $\bar X$, é igual à média da população.

• Dito de outra forma: colecionando muitas amostras podemos calcular muitas médias de amostras. Se calcularmos média destes valores iremos obter algo próximo a $\mu$.

variância populacional

A variância populacional pode ser aplicada à média amostral enquanto variável aleatória:

1. A variância populacional de $X$ é $V[X]$; em muitas situações usa-se o símbolo $\sigma^2$.

2. A variância populacional de $\bar X$ é $\frac{\sigma^2}{n}$ pois

$$\begin{split}\begin{eqnarray*} V[\bar X] & = & V\left[ \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) \right] \quad\leftarrow\text{passar a constante 1/n para fora de V} \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 V\left[ X_1 + X_2 + \cdots + X_n \right] \quad\leftarrow\text{V[da soma independente] é a soma das V[]} \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( V[X_1] + V[X_2] + \cdots + V[X_n] \right) \quad\leftarrow V[X_i] = \sigma^2 \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 \right) \quad\leftarrow \text{existem n valores } \sigma^2 \\ & = & \frac{1}{n^2} \left( n \times \sigma^2 \right) \quad\leftarrow \text{simplificar} \\ & = & \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}\end{split}$$

Comentários:

• A variância populacional para v.a. média amostral, $\bar X$, depende da variância populacional, $\sigma^2$, e que será cada vez menor quanto maior for a amostra.

• Dito de outra forma: colecionando muitas amostras podemos calcular muitas médias de amostras. Se calcularmos a variância destes valores iremos obter algo próximo a $\sigma^2/n$.