distribuição de Poisson 

A distribuição de Poisson pode, por vezes, ser usada para atribuir probabilidades a contagens como

X = número ocorrências por unidade de tempo (ou de área ou de volume, etc)

descrição 

A distribuição de Poisson atribui probabilidades a contagens em situações como as seguintes:

X = número ocorrências por unidade de tempo

X = número ocorrências por unidade de área

X = número ocorrências por unidade de volume

e outras.

Um exemplo de uma variável aleatória que talvez possa ser bem modelada por uma distribuição de Poisson é:

X = número de peixes apanhados por dia numa embarcação de pesca costeira

Trata-se de uma v.a. discreta e diz-se que \(X\) segue uma distribuição Poisson de parâmetro

\(\lambda\) (único parâmetro que caracteriza a distribuição)

sendo a notação

\[X \sim P(\lambda)\]

A função massa de probabilidade é dada por

\[f(x)=P(X=x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}, \,\, x=0,1,2,\ldots\]

propriedades 

Propridades da distribuição de Poisson:

\(E[X]=\lambda\) (sinónimos: média populacional, esperança matemática ou média do modelo matemático)
\(Var[X]=\lambda\) (variância populacional)

Assim, os parâmetros da média e a variância populacionais são iguais.

Por exemplo, considere que X = dosagem por comprimido (mg) é bem modelada por uma distribuição de Poisson. Então, em 2 comprimidos aleatórios, representados por duas v.a. \(X_1\) e \(X_2\), a dosagem total é \(X_1+X_2\). Como calcular probabilidades como \(P(X_1+X_2 \ge 10)\)?

A resposta segue:

Se \(X_1\) e \(X_2\) são duas v.a. independentes e

\[X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1)\;\; \mbox{e}\;\; X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2)\]

então

\[X_1+X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)\]

sendo o resultado válido para uma soma de 2, 3, 4, ou mais v.a.. Note-se que são os parâmetros \(\lambda\), de cada variável, que são somados e estes podem ser iguais ou diferentes.

R Project 

Tomemos o exemplo: determinar \(P(X \le 3)\) quando \(X\) segue uma \(Poisson(\lambda=4)\):

ppois(3,4)
[1] 0.4334701

texas TI Nspire CX 

determinar \(P(X = 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

num documento ou rascunho
Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função densidade poisson..
depois colocar lambda=4, x=3

determinar \(P(X \le 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

num documento ou rascunho
Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição poisson..
depois colocar lambda=4, limite inferior=0 e limite superior= 3

determinar \(P(X \ge 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

num documento ou rascunho
Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição poisson..
depois colocar: lambda=4, limite inferior=3 e limite superior=100000 (escolher um número muito afastado de \(\lambda\) e de x)
alternativa importante no caso discreto :
- \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)\) pois é uma va discreta
- colocar: lambda=4, limite inferior=0 e limite superior = 2

Baixe o manual da NSpire: TI-Nspire Reference Guide PT.

texas TI 84 

Outras variantes: texas, ti 84 plus, TI 84 Plus C Silver Edition

determinar \(P(X = 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS) para ter acesso ao menu de distribuição.
Selecionar poissonpdf e depois: poissonpdf(4, 3) (atenção à ordem)
Por vezes surge um menu a pedir parâmetros:
- botão DISTR-> opção poissonpdf-> (lambda: 4; x value= 3)

determinar \(P(X \le 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS) para ter acesso ao menu de distribuição.
Selecionar poissoncdf. Esta máquina calcula valores acumulativos da forma “inferiores a …” (\(P(X \le x)\)) e temos de fazer da seguinte forma: poissoncdf(4,3)
Por vezes surge um menu a pedir parâmetros:
- botão DISTR-> opção poissoncdf-> (lambda: 4; x value=3)

determinar \(P(X \ge 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

Nesta calculadora faz-se assim: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \le 2)\)

Então:

Escrever: 1- e depois
Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS).
Selecionar poissoncdf e escrever poissoncdf(4, 2) (atenção à ordem)

Por vezes surge um menu a pedir parâmetros: - botão DISTR-> opção poissoncdf-> (lambda: 4; x value: 2)

casio FX 9860gii 

determinar \(P(X \le 3)\) quando \(X\) segue uma Poisson(4):

MENU Stat => dist => Poisson => Pcd => data: Variable => x: 3 => lambda: 4 => Exe

Nota: contribua enviando as instruções em falta. Obrigado.

casio FX CG 20 

Exemplo: \(X\) segue uma Poisson(4):

Menu estatistica; F5 (DIST); (POISSON);
P(X=3): F1(Ppd); Data: Variable; x=3; lambda=4
P(X<=3): F2 (Pcd); Data: Variable; Lower=0; Upper=3; lambda=4
P(X>=3): F2 (Pcd); Data: Variable; Lower=3; Upper=100000; lambda=4 (nota: upper deve ser um número muito afastado de \(\lambda\) e de x)
alternativa importante no caso discreto :
- \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)\) pois é uma va discreta
- F2 (Pcd); Data: Variable; Lower=0; Upper=2; lambda=4