quantil populacional

Um quantil \(x_p\) é um valor de uma v.a. X que envolve uma probabilidade p tal que

\[P(X \le x_p) = p\]

No exemplo da imagem, o quantil \(x_{0.25}\) indica um valor no eixo do XX atrás do qual a probabilidade é 25%:

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É necessário usar «quantil» e não apenas o «valor» pois quantil envolve também a probabilidade igual ou inferior ao valor.

descrição

Dada uma probabilidade p, um quantil populacional é um valor q que verifica:

\[P(X \le q) = p\]

em que X é uma v.a. com função distribuição \(F(x)=P(X \le x)\) (ou seja, um modelo matemático para as probabilidasdes da v.a. X).

Se a v.a. for discreta pode existir mais que um valor possível para q. Em geral, no caso contínuo, só existe um único valor q (uma das exceções é a distribuição uniforme não apresentada nesta documentação).

caso discreto

No caso discreto pode existir mais que um quantil de ordem p. A definição é similar à definição de quantil amostral:

  • Um quantil de ordem \(p\) (com \(0 \le p \le 1\)) é um valor, \(x_p\), que divide a reta real em duas partes, tal que

\[P(X \le x_p) \ge p \quad \text{ e, também, }\quad P(X \ge x_p) \ge (1-p)\]

Por exemplo, um quantil \(x_{0.25}\) deve verificar

\[P(X \le x_{0.25}) \ge 0.25 \text{ e } P(X \ge x_{0.25}) \ge 0.75\]

ou seja,

  • à esquerda de \(x_{0.25}\) ocorre uma probabilidade não inferior a \(0.25\)

  • e, também deve ser verificado, que

  • à direita de \(x_{0.25}\) ocorre uma probabilidade não inferior a \(0.75\).

caso contínuo

Um quantil de ordem \(p\) (com \(0 \le p \le 1\)) é um valor, \(x_p\), que divide a reta real em duas partes, tal que

\[P(X \le x_p) = p\]

que também pode ser escrito, com a função de distribuição, por \(F(x_p) = p\). A imagem ilustra o quantil, a probabilidade p e a probabilidade 1-p:

_images/va-quantil-populacional-02.png

Notas:

  1. Se \(F(x_{0.25}) = 0.25\) então para conhecer \(x_{0.25}\) temos que conhecer a função inversa de F(), por tabelas ou usando calculadora gráfica.

  2. No caso de x ser um valor que obedece a \(P(X \ge x) = p\) então x não se designa por quantil. Usando a relação

\[P(X \ge x) = p \Leftrightarrow P(X \le x) = 1-p\]

vê-se que x é um quantil de ordem 1-p.

quartis, decis, percentis populacionais

Usando a notação \(x_p\), definem-se os termos:

  • quartis: \(Q_1=x_{0.25}\), \(Q_2=x_{0.50}\), \(Q_3=x_{0.75}\);

  • decis: \(D_1=x_{0.1}\), \(D_2=x_{0.2}\), etc, \(D_9=x_{0.9}\);

  • percentis: \(P_1=x_{0.01}\), \(D_2=x_{0.02}\), etc, \(P_{99}=x_{0.99}\).

seja em termos de v.a. discreta, como v.a. contínua.