distribuição genérica

A expressão «distribuição genérica» descreve uma qualquer distribuição caracterizada por uma média e variância (ou desvio padrão) e que não tem nome ou forma conhecida.

exemplo

Num (hipotético) estudo alargado foram obtidas as seguintes probabilidades para X = «número de filhotes fêmea»:

x	0	1	2	3	4
P(X=x)	0.03	0.19	0.44	0.30	0.04

média da distribuição genérica

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \mu = E(X) & = & \sum_{i=1}^5 x_i P(X=x_i) \\ & = & 0 \times 0.03 + 1 \times 0.19 + 2 \times 0.44 + 3 \times 0.30 + 4 \times 0.04 \\ & = & 2.13 \end{eqnarray*}\end{split}\]

variância da distribuição genérica

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \sigma^2 & = & Var(X) \\ & = & \sum_{i=1}^5 (x_i - \mu)^2\, P(X=x_i) \\ & = & (0 - 2.13)^2 \times 0.03 + (1 - 2.13)^2 \times 0.19 + \\ & & (2 - 2.13)^2 \times 0.44 + (3 - 2.13)^2 \times 0.30 + (4 - 2.13)^2 \times 0.04 \\ & = 0.7531 \end{eqnarray*}\end{split}\]

desvio padrão da distribuição genérica

\[\sigma = \sqrt{ V(X) } = \sqrt{ 0.7531 } = 0.8678133\]

descrição

A melhor distribuição que caracteriza uma dada população pode não ter um nome; pode não ter sido estudada previamente. É a situação mais comum. Nestes casos designa-se por «distribuição genérica» e, neste contexto, admite-se que uma distribuição genérica seja caracterizada por uma

• média populacional (ou valor esperado): \(\mu\)

• variância populacional: \(\sigma^2\)

Por razões prática, os procedimentos para realizar inferência estatística em populações genéricas também podem ser usados em populações com distribuição Binomial ou distribuição de Poisson (isto é, são distribuições conhecidas mas pode ter o mesmo tratamento usando o teorema do limite central). As populações Binomial ou Poisson, por exemplo, podem ser vistas como «genéricas» pois ambas têm média populacional (\(np\) e \(\lambda\), respectivamente) e variância populacional (\(np(1-p)\) e \(\lambda\), respectivamente).

motivação

Considere-se uma v.a. com distribuição genérica. Se só conhecermos os parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\) desta distribuição sem nome será que ainda podemos realizar estatística inferencial?

O capítulo estatística inferencial descreve procedimentos para o caso em que \(X \sim N(\mu,\; \sigma^2)\).

No entanto, o teorema do limite central apresenta resultados que podem ser usados em inferência em população genérica e também em inferência sobre proporções, ainda que de forma aproximada, e para amostras grandes (\(n \ge 30\)).