distribuição binomial

Trata-se de uma distribuição discreta cuja descrição de contagem é sempre com esta forma:

X = número de «sucessos» em n provas independentes

descrição

Trata-se de uma distribuição discreta cuja descrição de contagem é sempre com esta forma:

X = número de «sucessos» em $n$ provas independentes

Um exemplo desta va é:

• X = número de caras em 10 lançamentos de uma moeda

em que o «sucesso» é «sair cara» e o número de provas independentes é 10.

Diz-se que $X$ segue uma distribuição Binomial de parâmetros:

• $n$ : o número de provas, ou experiências, independentes;

• $p$ : a probabilidade de sucesso em cada prova ou experiência.

A notação habitual é

$$X \sim B(n,p)$$

que significa que a função massa de probabilidade é dada por

$$f(x)=P(X=x)=C_x^n\,p^x\,(1-p)^{n-x},\; x=0,1,\ldots,n$$

combinações

A expressão $C_x^n$ designa combinações de n objectos agrupados x a x:

$$C_x^n = \frac{n!}{(n-x)!\, x!}, \quad x=0, 1, \ldots$$

Por exemplo,

$$C_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!\, 2!} = \frac{4\times3\times2\times1}{2! \times 2!} = \frac{12}{2}=6$$

Se (a,b,c,d) são os objetos então combinados dois a dois têm-se as 6 combinações

• (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d).

exemplos de binomiais

Exemplo 1. X = número de caras em 10 lançamentos de uma moeda

• é uma contagem de sucessos em lançamentos de moedas

• o sucesso é «sair cara»; sendo a moeda for equilibrada temos p=P(«sucesso»)=0.5

• são realizados exatamente 10 lançamentos independentes

A notação matemática usada é:

$$X \sim B(10,0.5)$$

e a expressão acima é uma maneira mais fácil de escrever $f(x)=C^{10}_x 0.5^x (1-0.5)^{10-x}$, x=0,1,…,10.

Exemplo 2. X = número de defeitos em 35 peças de roupa avaliadas

• é uma contagem de «sucessos» na análise de uma peça de roupa

• o sucesso ocorre quando «a peça de roupa tem defeito» e considera-se p=P(roupa com defeito) (prob. desconhecida)

• foram analisadas exatamente 35 peças de roupa (independentes)

$$X \sim B(35,p)$$

sendo $p$ a probabilidade de uma peça de roupa ser defeituosa;

Exemplo 3. X = número de praticantes de desporto no conjunto de 43 alunos presentes na sala de aula

• é uma contagem de sucessos ao entrevistar cada estudante

• o sucesso é «o estudante pratica desporto», considere-se p=P(o estudante pratica desporto)

• foram entrevistados, exatamente, 43 estudantes

$$X \sim B(43,p)$$

sendo $p$ a probabilidade de um estudante praticar desporto

Exemplo 4. X = número de erros de medição superiores a 0.01mg em 100 pesagens realizadas

• é uma contagem de sucessos ao fazer medições

• o sucesso é «foi detetado um erro de medição superior a 0.01mg», considere-se p=P(erro de medição superior a 0.01mg)

• foram revistas, exatamente, 100 pesagens

$$X \sim B(100,p)$$

sendo $p$ a probabilidade de se cometer um erro de medição superior a 0.01mg numa pesagem.

propriedades

média populacional ou número esperado

• $E[X]=np$

Note que

• o número esperado não precisa ser inteiro mesmo que a v.a. seja inteira.

Por exemplo, em Portugal houve 1.42 filhos por casal em 2019 e este valor serve de comparação com anos anteriores. Claro que ninguém vai ter 0.42 filhos e por isso a noção de média populacional é uma quantidade sem representação real. Assim, no cálculo $np$ não se deve arredondar o número esperado a um número inteiro. Fonte: Indicadores de fecundidade.

variância populacional

• $Var[X]=np(1-p)$

Exercício. Faça o gráfico de p(1-p). Para que valor de p é que a variância é máxima?

soma de duas variáveis binomiais

Sejam $X$ e $Y$ duas v.a.”s independentes tais que

$$X \sim B(n_1,p)\;\; \mbox{e}\;\; Y \sim B(n_2,p)$$

Assim, nestas condições,

$$X+Y \sim B(n_1+n_2,p)$$

Exemplo.

Admita que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é $0.01$. Considere as variáveis

• X = «número de peças defeituosas retiradas com reposição de um lote A de $100$ peças»

e

• Y = «número de peças defeituosas retiradas com reposição de um lote B de $500$ peças».

Assim, $X \sim B(100,0.01)$ e $Y \sim B(500,0.01)$.

Então, $Z=X+Y$ = «número de peças defeituosas no conjunto dos dois lotes» segue uma distribuição $B(600,0.01)$.

R project

Exemplo. Determinar $P(X \le 3)$ quando $X$ segue uma $Binomial(n=20, p=0.2)$:

pbinom(3,20,0.2)
[1] 0.4114489

Calculadoras gráficas

• texas TI 84 e variantes

• texas TI Nspire CX

• casio FX 9860gii e similares

• casio FX CG 20

texas TI Nspire CX

1. determinar $P(X = 3)$ quando $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

• modo «calculadora»

• Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função densidade binomial..

• depois colocar o n=20, p=0.2, x=3

2. determinar $P(X \le 3)$ quando $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

• modo «calculadora»

• Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição binomial..

• depois colocar n=20, p=0.2, limite inferior=0 e limite superior= 3

3. determinar $P(X \ge 3)$ quando $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

• modo «calculadora»

• Menu => estatística (6) => distribuições… (5) => função de distribuição binomial..

• depois colocar n=20, p=0.2, limite inferior=3 e limite superior=20 (pois x=0,1,…,20)

• alternativa importante no caso discreto :

  • $P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)$ pois é uma va discreta

  • depois colocar n=20, p=0.2, limite inferior=0 e limite superior=2 e fazer «1 - resultado»

Baixe o manual da NSpire: TI-Nspire Reference Guide PT.

Esta máquina determina probabilidades da forma $P(a \le X \le b)$ em que «a» e «b» são os limites inferior e superior do intervalo.

Contribuições:
  Ana Madalena Garcia (2018/2019)
  Ana Isabel Azevedo (2018/2019)
  João Fonseca (2019/2020)

texas TI 84 e variantes

Indicações válidas para as variantes: TI 84 plus, TI 84 Plus C Silver Edition.

Exemplo: $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

1. $P(X = 3)$

• Selecione as teclas 2nd, DISTR (VARS) para ter acesso ao menu de distribuição.

• Selecionar A: binompdf e depois: binompdf(20, 0.2, 3)

• Por vezes surge um menu a pedir parâmetros:

  • botão DISTR-> opção binompdf-> (trials:20; p=0,2, x value= 3)

2. $P(X \le 3)$:

• Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS) para ter acesso ao menu de distribuição.

• Selecionar B: binomcdf. Esta máquina calcula valores acumulativos da forma “inferiores a …” ($P(X \le x)$) e temos de fazer da seguinte forma: binomcdf(20, 0.2, 3)

• Por vezes surge um menu a pedir parâmetros:

  • botão DISTR-> opção binomcdf-> (trials:20; p=0.2; x value=3)

3. $P(X \ge 3)$:

Nesta calculadora faz-se assim: $P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \le 2)$

Então:

• Escrever: 1- e depois

• Selecione as teclas 2nd– DISTR (VARS).

• Selecionar B: binomcdf e escrever binomcdf(20, 0.2, 2) (atenção à ordem)

Por vezes surge um menu a pedir parâmetros: - botão DISTR-> opção binomcdf-> (trials: 20; p: 0.2; x value: 2)

Faça clique na imagem para outros casos:

Contribuição original de Luana Filipe.
Contribuição adicional de Marta S. P. Mendes e Luís Filipe P. Borges
(estudantes de Bioestatística em 2018/2019).

casio FX 9860gii e similares

Exemplo: $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

Menu STAT; DIST (F5); BINM (F5);

• P(X=3): Bpd (F1); Data: Variable; x=3; Numtrials=20; p=0.2

• P(X<=3): Bcd (F2); Data: Variable; x=3; Numtrials=20; p=0.2

• P(X>=3):

  • $P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)$ pois é uma va discreta

  • Bcd (F2); Data: Variable; x=2; Numtrials=20; p=0.2

  • anotar o resultado no papel;

  • no modo «math» fazer: 1 - (ver resultado anterior)

Contribuição original de André P. Ventura
(estudantes de Bioestatística em 2018/2019).

casio FX CG 20

Exemplo: $X$ segue uma Binomial(n=20, p=0.2):

• Menu STAT (estatistica); DIST (F5); BINOMIAL (F5);

• P(X=3): Bpd (F1); Data: Variable; x=3; Numtrials=20; p=0.2

• P(X<=3): Bcd (F2); Data: Variable; Lower=0; Upper=3; Numtrials=20; p=0.2

• P(X>=3): Bcd (F2); Data: Variable; Lower=3; Upper=20; Numtrials=20; p=0.2

• P(X>=3) alternativa importante no caso discreto :

  • $P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)$ pois é uma va discreta

  • Bcd (F2); Data: Variable; Lower=0; Upper=2; Numtrials=20; p=0.2, e fazer «1 - resultado»

Faça clique na imagem para ver os écrans:

Contribuição original de Mara B. L. Gravato
Contribuição original com imagens de Ana Romariz
(estudantes de Bioestatística em 2018/2019).

Estas instruções dependem de marcas ou versões de calculadoras ou software

outros exemplos

Seja $X \sim B(10,0.2)$. Assim, por exemplo,

• $P(X=4)=PDF.BINOM(4,10,0.2) \simeq 0.0881$

• $P(X \geq 6)=1-P(X < 6) = 1-P(X \leq 5) = 1- F(5)$

Logo, $P(X \geq 6)= 1-CDF.BINOM$(5,10,0.2) \approx 0.0064$.

E, ainda,

• $E[4X-1]=4E[X]-1=4\times(10\times0.2)-1=7;$

• $Var[4X-1]=16Var[X]=16\times(10\times0.2\times0.8)=25.6.$