média populacional
A média populacional é um valor de localização central de uma dada função de distribuição.
A «média populacional» pode ser vista como a média do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da média amostral, \bar x, que precisa de uma amostra de valores e não de um modelo.
descrição
Seja X uma variável aleatória caracterizada por uma função de distribuição.
O cálculo da média populacional pressupõe o conhecimento, ou escolha, de uma função de distribuição, F(x), e uma das sua funções relacionadas, consoante o caso discreto ou contínuo, ambas representadas por f(x).
O valor médio de uma v.a., X, representa-se por E[X] e calcula-se de modo diferente para o caso discreto ou contínuo.
Em muitas situações, usa-se a letra grega «miu», \mu = E[X], para indicar a «média da população» de forma compacta (mas nem sempre).
caso discreto finito
Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a média populacional através de
outros casos
Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, \infty ou quando a v.a. é contínua não é apresentada a expressão de cálculo por sair fora do âmbito.
No entanto, uma v.a. nessas condições tem, em geral, a sua média populacional
propriedades de E[X]
Considere a e b como constantes (números reais):
E[a]=a
a média de uma constante a é a própria constante
E[aX]=a E[X]
a média é afetada por um coeficiente a multiplicador
E[X_1 + X_2]=E[X_1] + E[X_2]
a média populacional da soma de duas v.a. é a soma das médias populacionais respetivas
E[aX \pm b]=aE[X] \pm b
a média populacional é linear (isto é, as constantes a e b podem passar para «fora»).
«as somas passam para fora», por exemplo, E[X \pm Y \pm X^2] = E[X] + E[Y] + E[X^2] (desde que todos os E[algo] sejam finitos)