média populacional

A média populacional é um valor de localização central de uma dada função de distribuição.

A «média populacional» pode ser vista como a média do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da média amostral, \bar x, que precisa de uma amostra de valores e não de um modelo.

descrição

Seja X uma variável aleatória caracterizada por uma função de distribuição.

O cálculo da média populacional pressupõe o conhecimento, ou escolha, de uma função de distribuição, F(x), e uma das sua funções relacionadas, consoante o caso discreto ou contínuo, ambas representadas por f(x).

O valor médio de uma v.a., X, representa-se por E[X] e calcula-se de modo diferente para o caso discreto ou contínuo.

Em muitas situações, usa-se a letra grega «miu», \mu = E[X], para indicar a «média da população» de forma compacta (mas nem sempre).

caso discreto finito

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a média populacional através de

E[X] = x_1 \times f(x_1) + \cdots + x_n \times f(x_n)

outros casos

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, \infty ou quando a v.a. é contínua não é apresentada a expressão de cálculo por sair fora do âmbito.

No entanto, uma v.a. nessas condições tem, em geral, a sua média populacional

\mu = E[X] \text{ (método de cálculo omisso) }

propriedades de E[X]

Considere a e b como constantes (números reais):

  • E[a]=a

    • a média de uma constante a é a própria constante

  • E[aX]=a E[X]

    • a média é afetada por um coeficiente a multiplicador

  • E[X_1 + X_2]=E[X_1] + E[X_2]

    • a média populacional da soma de duas v.a. é a soma das médias populacionais respetivas

  • E[aX \pm b]=aE[X] \pm b

    • a média populacional é linear (isto é, as constantes a e b podem passar para «fora»).

  • «as somas passam para fora», por exemplo, E[X \pm Y \pm X^2] = E[X] + E[Y] + E[X^2] (desde que todos os E[algo] sejam finitos)