média populacional

A média populacional é um valor de localização central de uma dada função de distribuição.

A «média populacional» pode ser vista como a média do modelo matemático escolhido para modelar determinada variável aleatória. Neste sentido, difere da média amostral, \(\bar x\), que precisa de uma amostra de valores e não de um modelo.

descrição

Seja \(X\) uma variável aleatória caracterizada por uma função de distribuição.

O cálculo da média populacional pressupõe o conhecimento, ou escolha, de uma função de distribuição, \(F(x)\), e uma das sua funções relacionadas, consoante o caso discreto ou contínuo, ambas representadas por \(f(x)\).

O valor médio de uma v.a., \(X\), representa-se por \(E[X]\) e calcula-se de modo diferente para o caso discreto ou contínuo.

Em muitas situações, usa-se a letra grega «miu», \(\mu = E[X]\), para indicar a «média da população» de forma compacta (mas nem sempre).

caso discreto finito

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, n obtemos a média populacional através de

\[E[X] = x_1 \times f(x_1) + \cdots + x_n \times f(x_n)\]

outros casos

Quando a v.a. é uma contagem de 0 a n: 0, 1, 2, …, \(\infty\) ou quando a v.a. é contínua não é apresentada a expressão de cálculo por sair fora do âmbito.

No entanto, uma v.a. nessas condições tem, em geral, a sua média populacional

\[\mu = E[X] \text{ (método de cálculo omisso) }\]

propriedades de \(E[X]\)

Considere a e b como constantes (números reais):

• \(E[a]=a\)

  • a média de uma constante a é a própria constante

• \(E[aX]=a E[X]\)

  • a média é afetada por um coeficiente a multiplicador

• \(E[X_1 + X_2]=E[X_1] + E[X_2]\)

  • a média populacional da soma de duas v.a. é a soma das médias populacionais respetivas

• \(E[aX \pm b]=aE[X] \pm b\)

  • a média populacional é linear (isto é, as constantes a e b podem passar para «fora»).

• «as somas passam para fora», por exemplo, \(E[X \pm Y \pm X^2] = E[X] + E[Y] + E[X^2]\) (desde que todos os E[algo] sejam finitos)