estimação pontual

Neste capítulo, considera-se que a população segue uma distribuição normal, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, e assume-se que a variância populacional, $\sigma^2$, é conhecida.

Assim:

• o estimador da média populacional, $\mu$, é: $\hat \mu = \bar X$

• a estimativa da média populacional, $\mu$, é: $\hat \mu = \bar x$.

descrição

Temos duas médias:

• $E[X]$ é a média da população; no caso de estudo sabe-se que $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ e assim temos $E[X]=\mu$;

• $\bar X$ é a média amostral enquanto v.a..

Igualando estas duas médias, numa técnica designada por «método dos momentos»,

$$E[X] = \bar X \Leftrightarrow \mu = \bar X$$

Daqui diz-se que:

• $\hat \mu = \bar X$ é um estimador da média populacional (uma «fábrica» de estimativas);

• $\hat \mu = \bar x$ é uma estimativa da média populacional (obtêm-se estimativas de uma amostra concreta).

exemplo

No enunciado vimos que a média amostral é $\bar x=25.585$. Sendo a média amostral aleatória um estimador para $\mu$, ou seja $\hat \mu = \bar X$, a estimativa é

$$\hat \mu = \bar x = 32.5$$

Assim a distribuição do IMC fica completamente definida: $X \sim N(\mu=25.585,\; \sigma^2=4^2)$

propriedades

Que propriedades deve ter um bom estimador?

• estimador centrado, estimador enviesado

  Um bom estimador deve ser tal que, ao tomarmos uma grande quantidade de amostras e calcularmos as médias das respetivas estimativas, esta deve aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro. Neste caso, o estimador diz-se centrado, ou não enviesado. Caso contrário diz-se enviesado.

• estimador consistente

  Um bom estimador deve ser tal que, ao aumentarmos a dimensão da amostra, as estimativas devem aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro. Neste caso, o estimador diz-se consistente.

• variabilidade reduzida

  Um bom estimador deve fornecer estimativas que não se afastem muito do verdadeiro valor do parâmetro (variabilidade reduzida).