estimação pontual
Neste capítulo, considera-se que a população segue uma distribuição normal, \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), e assume-se que a variância populacional, \(\sigma^2\), é conhecida.
Assim:
o estimador da média populacional, \(\mu\), é: \(\hat \mu = \bar X\)
a estimativa da média populacional, \(\mu\), é: \(\hat \mu = \bar x\).
descrição
Temos duas médias:
\(E[X]\) é a média da população; no caso de estudo sabe-se que \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) e assim temos \(E[X]=\mu\);
\(\bar X\) é a média amostral enquanto v.a..
Igualando estas duas médias, numa técnica designada por «método dos momentos»,
Daqui diz-se que:
\(\hat \mu = \bar X\) é um estimador da média populacional (uma «fábrica» de estimativas);
\(\hat \mu = \bar x\) é uma estimativa da média populacional (obtêm-se estimativas de uma amostra concreta).
exemplo
No enunciado vimos que a média amostral é \(\bar x=25.585\). Sendo a média amostral aleatória um estimador para \(\mu\), ou seja \(\hat \mu = \bar X\), a estimativa é
Assim a distribuição do IMC fica completamente definida: \(X \sim N(\mu=25.585,\; \sigma^2=4^2)\)
propriedades
Que propriedades deve ter um bom estimador?
estimador centrado, estimador enviesado
Um bom estimador deve ser tal que, ao tomarmos uma grande quantidade de amostras e calcularmos as médias das respetivas estimativas, esta deve aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro. Neste caso, o estimador diz-se centrado, ou não enviesado. Caso contrário diz-se enviesado.
estimador consistente
Um bom estimador deve ser tal que, ao aumentarmos a dimensão da amostra, as estimativas devem aproximar-se do verdadeiro valor do parâmetro. Neste caso, o estimador diz-se consistente.
variabilidade reduzida
Um bom estimador deve fornecer estimativas que não se afastem muito do verdadeiro valor do parâmetro (variabilidade reduzida).