amostra aleatória normal

Numa amostra aleatória normal, cada uma das v.a. segue uma mesma distribuição normal, \(X \sim N(\mu;\sigma^2)\). Nestas condições,

  1. a soma de v.a. normais é modelada por

\[X_1+\cdots+X_n \sim N(n \, \mu; n \, \sigma^2)\,.\]

  1. a média amostral é modelada por

\[\bar X = \frac{1}{n} \left( X_1+\cdots+X_n \right) \sim N\left( \mu; \frac{\sigma^2}{n} \right)\,.\]

descrição

Uma amostra aleatória normal é uma coleção de variáveis aleatórias (ver amostra aleatória)

\[X_1, \ldots, X_i, \ldots, X_n\]

em que cada v.a. é modelada por uma distribuição normal caracterizada pelos parâmetros:

  • \(\mu\) : a média populacional;

  • \(\sigma^2\) : a variância populacional.

isto é, cada v.a. \(X_i\) verifica que

\[X_i \sim N(\mu;\sigma^2)\]

distribuição da soma de normais

Já foi visto que a «soma de normais independentes é modelada por uma normal» (ver soma de várias v.a. normais). Então, perante as n v.a. normais tem-se que:

\[X_1+\cdots+X_n \sim N(n \, \mu; n \, \sigma^2)\]

A distribuição da soma tem estes parâmetros:

  • \(n \mu\) (média populacional para a soma) vem de:

\[E[X_1+\cdots+X_n] = \mu + \mu + \cdots + \mu = n \, \mu\]

  • \(n \sigma^2\) (variância populacional para a soma) vem de:

\[V[X_1+\cdots+X_n] = \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2 = n \, \sigma^2\]

pois a variância da soma de v.a. independentes é a soma das variâncias.

distribuição da média amostral de normais

Tendo uma amostra aleatória normal

\[X_1, \ldots, X_n\]

em que cada uma das v.a. é caracterizada pela mesma distribuição normal \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) então a média amostral aleatória, \(\bar X\), que também depende de uma soma de v.a., segue

\[\bar X = \frac{1}{n} \left( X_1+\cdots+X_n \right) \sim N\left( \mu; \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

Assim, \(\bar X\), segue uma normal com estes parâmetros:

  • \(\mu\) (valor esperado da «média amostral aleatória») vem de

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} E[\bar X] & = & E[\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)] \\ & = & \frac{1}{n}( \mu + \mu + \cdots + \mu )\\ & = & \frac{1}{n}( n \, \mu) \\ & = & \mu \end{eqnarray*}\end{split}\]

  • \(\frac{\sigma^2}{n}\) (variância populacional da v.a. média amostral) vem de

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} Var( \bar X) & = & Var\left( \frac{1}{n} (X_1+\cdots+X_n) \right) \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 \, Var( X_1+\cdots+X_n) \\ & = & \left(\frac{1}{n}\right)^2 \, (n\,\sigma^2) \\ & = & \frac{\sigma^2}{n} \end{eqnarray*}\end{split}\]

distribuição normal padrão

Com base na propriedade

\[\bar X \sim N\left( \mu; \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

segue a seguinte propriedade, que é usada na estatística inferencial,

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0;1)\]

em que

  • N(0;1) designa-se por distribuição normal padrão Z;

  • é frequente a letra Z indicar uma v.a. modelada por N(0;1);

  • o divisor \(\sigma/\sqrt{n}\) é o desvio padrão de \(\bar X\).

referências online

  1. https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_normal

referẽncias em livro

  1. Bento Murteira, Carlos Silva Ribeiro, João Andrade e Silva, Carlos Pimenta. Introdução à Estatística. McGraw-Hill, 2010