distribuição normal (amostragem)

A distribuição normal, além de representar dados, surge também como distribuição de amostragem nas seguintes três circunstâncias.

1. Como soma de v.a. normais (propriedes da distribuição normal)

Quando \(X_i \sim N(\mu,\sigma^2)\) então

\[\left( X_1+\cdots+X_n \right) \sim N\left( n \, \mu, n \, \sigma^2 \right)\]

2. Como média de v.a. normais (propriedes da distribuição normal)

Quando \(X_i \sim N(\mu,\sigma^2)\) então

\[\bar X = \frac{1}{n} \left( X_1+\cdots+X_n \right) \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

3. Uso do teorema do limite central particularizado nos casos:

   • soma genérica de v.a.

   • soma de v.a. com distribuição de Bernoulli («soma de zeros e uns»).

Através da operação de «centrar e reduzir» obtem-se a distribuição normal padrão Z.

central e reduzir

Se uma v.a. normal for centrada, em relação à média, e reduzida, dividindo pelo desvio, obtem-se uma v.a. com distribuição normal padrão

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,\;1)\]

É especial pois não depende de parâmetros (média e desvio sempre fixos) e pode ser usada em propriedades.

No caso de somas temos

\[Z = \frac{\sum_i X_i - (n \, \mu) }{\sqrt{n} \, \sigma} \sim N(0,\;1)\]

e no caso da média

\[Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,\;1)\]

distribuição normal padrão

A distribuição normal padrão \(N(0;1)\):

\[Z \sim N(0,\;1)\]

assume um papel de relevo e por isso é abordada em secção própria: distribuição normal padrão Z (também com cálculo de quantis).