função massa de probabilidade

A função massa de probabilidade, $f(x)$, permite atribuir uma probabilidade a cada distinto valor x de uma v.a. discreta.

Exemplo simplista de um mundo não real: se X=0 se «menino» e X=1 se «menina» então $f(0)=0.5$ e $f(1)=0.5$.

função $f(x)$

A função massa de probabilidade (f.m.p.) designa-se por $f(x)$ e define-se por:

$$f(x) = P(X=x)$$

para qualquer valor x resultante de uma v.a. $X$ que tome valores num conjunto discreto, possivelmente infinito.

Axiomas:

• a soma de $f(x)$ para todos os distintos x tem que ser 1;

• $0 \le f(x) \le 1$ para qualquer valor x;

• $f(x)=0$ sempre que x não seja um resultado observável da v.a. X.

uma distribuição genérica

Considere o seguinte exemplo em que

• X = «número de crias de um animal adulto em três anos»

sendo a distribuição discreta determinada pela tabela (ou função):

x	0	1	2	3	4
P(X=x)	0.03	0.19	0.44	0.30	0.04

Sempre que uma distribuição não tem nome dizemos que é genérica.

Verificação dos axiomas:

• $0.03 + 0.19 + 0.44 + 0.30 + 0.04 = 1$

• $0 \le f(x) \le 1$ para qualquer valor x, ou seja, uma probabilidade não pode ser negativa e uma probabilidade não pode ser superior a 1;

• considera-se que $f(x)=0$ para qualquer valor fora do conjunto $\{0,1,2,3,4\}$.

média populacional, $E(X)$

No caso discreto, a medida de localização central designada por média populacional obtém-se assim:

$$\mu = E[X] = \sum_{i} x_i f(x_i)$$

isto é, uma soma pesada em que cada distinto elemento $x_i$ tem um peso correspondente $f(x_i)=P(X=x_i)$.

No exemplo apresentado:

$$\mu = E[X] = 0 \times 0.03 + 1 \times 0.19 + 2 \times 0.44 + 3 \times 0.30 + 4 \times 0.04 = 2.13$$

Interpretação: em média um adulto gera 2.13 crias; claro que não se pode gerar «0.13 crias» mas esta medida, a média, é um conceito abstrato que serve para estudar uma tendência. Por exemplo, o número médio de filhos por casal humano tem vindo a descer na europa.

variância populacional, $Var(X)$

A variância populacional é uma medida de dispersão em torno da média populacional. A variância é também uma média mas dos afastamentos de $\mu$ ao quadrado por forma a remover o sinal -/+.

No caso discreto, a variância populacional obtém-se assim:

$$\sigma^2 = Var[X] = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 f(x_i)$$

isto é, uma soma pesada em que cada distinto elemento $(x_i - \mu)^2$ tem um peso correspondente $f(x_i)=P(X=x_i)$.

O desvio padrão populacional é $\sigma = \sqrt{Var[X]}$.

No exemplo apresentado:

$$\begin{split}\begin{array}{rl} \sigma^2 = Var[X] = & (0-2.13)^2 \times 0.03 + \\ & (1-2.13)^2 \times 0.19 + (2-2.13)^2 \times 0.44 + \\ & (3-2.13)^2 \times 0.30 + (4-2.13)^2 \times 0.04 \\ & \approx 0.76 \end{array}\end{split}$$

O desvio padrão é $\sigma\approx0.87$.

Interpretação: a baixa medida de dispersão $\sigma=0.87$ revela que o número de crias não se afasta muito da média 2.13, no caso desta população genérica.