função massa de probabilidade
A função massa de probabilidade, \(f(x)\), permite atribuir uma probabilidade a cada distinto valor x de uma v.a. discreta.
Exemplo simplista de um mundo não real: se X=0 se «menino» e X=1 se «menina» então \(f(0)=0.5\) e \(f(1)=0.5\).
função \(f(x)\)
A função massa de probabilidade (f.m.p.) designa-se por \(f(x)\) e define-se por:
para qualquer valor x resultante de uma v.a. \(X\) que tome valores num conjunto discreto, possivelmente infinito.
Axiomas:
a soma de \(f(x)\) para todos os distintos x tem que ser 1;
\(0 \le f(x) \le 1\) para qualquer valor x;
\(f(x)=0\) sempre que x não seja um resultado observável da v.a. X.
uma distribuição genérica
Considere o seguinte exemplo em que
X = «número de crias de um animal adulto em três anos»
sendo a distribuição discreta determinada pela tabela (ou função):
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P(X=x) |
0.03 |
0.19 |
0.44 |
0.30 |
0.04 |
Sempre que uma distribuição não tem nome dizemos que é genérica.
Verificação dos axiomas:
\(0.03 + 0.19 + 0.44 + 0.30 + 0.04 = 1\)
\(0 \le f(x) \le 1\) para qualquer valor x, ou seja, uma probabilidade não pode ser negativa e uma probabilidade não pode ser superior a 1;
considera-se que \(f(x)=0\) para qualquer valor fora do conjunto \(\{0,1,2,3,4\}\).
média populacional, \(E(X)\)
No caso discreto, a medida de localização central designada por média populacional obtém-se assim:
isto é, uma soma pesada em que cada distinto elemento \(x_i\) tem um peso correspondente \(f(x_i)=P(X=x_i)\).
No exemplo apresentado:
Interpretação: em média um adulto gera 2.13 crias; claro que não se pode gerar «0.13 crias» mas esta medida, a média, é um conceito abstrato que serve para estudar uma tendência. Por exemplo, o número médio de filhos por casal humano tem vindo a descer na europa.
variância populacional, \(Var(X)\)
A variância populacional é uma medida de dispersão em torno da média populacional. A variância é também uma média mas dos afastamentos de \(\mu\) ao quadrado por forma a remover o sinal -/+.
No caso discreto, a variância populacional obtém-se assim:
isto é, uma soma pesada em que cada distinto elemento \((x_i - \mu)^2\) tem um peso correspondente \(f(x_i)=P(X=x_i)\).
O desvio padrão populacional é \(\sigma = \sqrt{Var[X]}\).
No exemplo apresentado:
O desvio padrão é \(\sigma\approx0.87\).
Interpretação: a baixa medida de dispersão \(\sigma=0.87\) revela que o número de crias não se afasta muito da média 2.13, no caso desta população genérica.