pressupostos e sua validação

modelo

O modelo linear simples rege-se por

\[ \begin{align}\begin{aligned}Y|x = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon, \quad \beta_1 \neq 0,\\\epsilon \sim N(0, \; \sigma^2)\end{aligned}\end{align} \]

onde é patente o pressuposto de que o erro é uma v.a. com distribuição normal centrada em 0 e variância \(\sigma^2\).

A variância \(\sigma^2\) não depende da posição x ou y.

erro e resíduos

A obtenção de concretizações do erro aleatório, \(\epsilon\), processa-se obtendo os resíduos, \(e_i\), para uma dada amostra.

Considerando uma amostra de n observações emparelhadas \((x_i,y_i)\):

\[(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\]

temos

\[y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + e_i, \quad i=1, \ldots, n\]

como ilustra a imagem:

onde

• os valores \(x_i\) são provenientes de uma variável independente também denominada regressor ou variável explicativa;

• os valores \(y_i\) são dependentes e são a resposta a \(x_i\);

• os resíduos \(e_i\) são valores independentes obtidos por

\[e_i = y_i - \hat y_i \quad \text{ em que } \hat y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i\]

pressupostos da regressão

O erro no modelo de regressão linear simples, \(\epsilon\), é uma v.a. que verifica

\[\epsilon \sim N(0, \sigma^2)\]

sendo os resíduos, \(e_i\) uma coleção de observações da v.a. \(\epsilon\).

Assim, a amostra de resíduos deve:

• verificar a independência face a x ou \(\hat y|x\);

• ser bem modelada por uma distribuição normal;

• em que a variância não depende de x ou \(\hat y|x\).

procedimento para validação dos pressupostos

1. Gráfico dispersão de resíduos

Realiza-se um gráfico de dispersão entre

• valores preditos \(\hat y_i\) (eixo xx)

• resíduos \(e_i\) (eixo yy)

1. (a) No gráfico de dispersão deve observar-se que há aleatoriedade e esta que significa independência face a valores preditos \(\hat y_i\).

No seguinte gráfico é verificada a independência face a \(\hat y_i\) pois há aleatoriedade.

No seguinte gráfico não há aleatoriedade pois os resíduos \(e_i\) dependem de x (poderia ser também \(\hat y_i\)):

1. (b) No gráfico de dispersão deve observar-se que a variabilidade é constante ao longo de x ou de \(\hat y_i\). Por outras palavras, a variância do erro não depende de x ou dos valores preditos \(\hat y_i\).

No seguinte gráfico não há constância da variabilidade ao longo de x (poderia ser também \(\hat y_i\)):

2. Ajustamento à normalidade

Como \(\epsilon \sim N(0, \; \sigma^2)\) então é necessário verificar se a coleção resíduos, obtidos pela regressão linear sobre uma amostra \((x_i,y_i)\), é bem modelada por uma distribuição normal. Em ajustamento à normal são apresentadas as técnicas para esse fim e que aqui são reproduzidas e sumariadas:

2. (a) QQ plot normal

Comparam-se os quantis da amostra de resíduos \(e_1,\ldots,e_n\) com os quantis de uma distribuição normal obtem um gráfico «QQ plot» como o da seguinte figura:

Os pontos devem ser próximos à «reta de quantis» para não se rejeitar a normalidade dos resíduos, confirmando o modelo de que \(\epsilon \sim \text{normal}\).

2. (b) Testes de Hipóteses de ajustamento à normal

Se a amostra tem dimensão inferior a 30 pares de observações então deve realizar-se o teste de Shapiro-Wilk.

Caso contrário deve realizar-se o teste Kolmogorov-Smirnoff com correção Lilliefors.

Em ambos os casos obtém-se um p-value que não deve conduzir à rejeição da normalidade (p-value elevado).

Complemento: o sistema R oferece uma tabela como a seguinte:

na qual se podem ver as principais medidas amostrais dos resíduos: nela pode ser apreciada a simetria e amplitude dos valores dos resíduos.

A secção R Project introduz rotinas online com as quais se obtém a reta de regressão linear simples paramétrica e efetua-se a verificação dos pressupostos.