ex. 3.1 (*)

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Num estudo sobre o número de golfinhos presos diariamente em redes de pesca ao largo dos Açores, nos 257 dias de 1998 em que o estado do tempo permitiu a saída de barcos, obtiveram-se os dados que se seguem:

Nº de golfinhos

0

1

2

3

4

5

6

8

9

13

Nº de dias

37

45

84

52

23

11

2

1

1

1

Suponha que esta amostra se pode considerar como tendo sido retirada de uma população com distribuição de Poisson.

(a) Realize o ex. 1.10 (*) e verifique que a média amostral é \(\bar x=2.17\) e o desvio padrão corrigido é \(s_c=1.6\).


(b) Tomando a média amostral \(\bar X\) como um estimador de \(\lambda\), indique uma estimativa para \(\lambda\).

☞ sugestões

Para calcular probabilidades com a função massa de probabilidade (f.m.p.) da distribuição de Poisson é necessário determinar um valor para \(\lambda\) para se poderem calcular probabilidades:

  • a função massa de probabilidade \(f(x)=P(X=x)=e^{-\lambda} \lambda^x/x!\) depende do parâmetro real \(\lambda>0\).

O parâmetro \(\lambda\) é o valor esperado (ou média da distribuição), \(E[X]=\lambda\), e também é a variância \(Var[X]=\lambda\).

Consulte as noções de estimador e estimativa em estimação pontual e adapte-as ao caso da distribuição de Poisson.

☞ proposta de resolução

  • \(\hat \lambda = \bar X\) é um estimador da média populacional de uma distribuição de Poisson;

  • \(\hat \lambda = \bar x=2.17\) é uma estimativa da média populacional ficando assim a distribuição de Poisson completamente caracterizada.

Nesta notação \(\bar X\) é uma v.a. e \(\bar x\) representa um número real.


(c) Tomando a variância amostral corrigida \(S_c^2\) como um estimador de \(\lambda\), indique uma estimativa para \(\lambda\).

☞ sugestões

Consulte o exemplo estimação pontual e adapte ao caso da Poisson.

☞ proposta de resolução

  • \(\hat \lambda = S_c^2\) é um estimador da variância populacional de uma distribuição de Poisson;

  • \(\hat \lambda = s_c^2=(1.6)^2=2.56\) é uma estimativa da variância populacional ficando assim a distribuição de Poisson completamente caracterizada.

Nesta notação \(S_c^2\) é uma v.a. e \(s_c^2\) representa um número real.


(d) Comente o facto de ter obtido duas estimativas distintas para o mesmo parâmetro \(\lambda\). Faz sentido?

☞ proposta de resolução

Sim, pois na distribuição de Poisson, o parâmetro \(\lambda\) tem um duplo papel: \(E[X] = \lambda\) mas, nesta distribuição, \(Var[X]=\lambda\).

Assim, tomar a média amostral \(\bar X\), ou a variância amostral corrigida \(S_c^2\), faz sentido.

Porém, estas duas estimativas não devem estar muito afastadas uma da outra.