ex. 3.1 (*)

Num estudo sobre o número de golfinhos presos diariamente em redes de pesca ao largo dos Açores, nos 257 dias de 1998 em que o estado do tempo permitiu a saída de barcos, obtiveram-se os dados que se seguem:

Nº de golfinhos	0	1	2	3	4	5	6	8	9	13
Nº de dias	37	45	84	52	23	11	2	1	1	1

Suponha que esta amostra se pode considerar como tendo sido retirada de uma população com distribuição de Poisson.

(a) Realize o ex. 1.10 (*) e verifique que a média amostral é $\bar x=2.17$ e o desvio padrão corrigido é $s_c=1.6$.

(b) Tomando a média amostral $\bar X$ como um estimador de $\lambda$, indique uma estimativa para $\lambda$.

☞ sugestões

Para calcular probabilidades com a função massa de probabilidade (f.m.p.) da distribuição de Poisson é necessário determinar um valor para $\lambda$ para se poderem calcular probabilidades:

• a função massa de probabilidade $f(x)=P(X=x)=e^{-\lambda} \lambda^x/x!$ depende do parâmetro real $\lambda>0$.

O parâmetro $\lambda$ é o valor esperado (ou média da distribuição), $E[X]=\lambda$, e também é a variância $Var[X]=\lambda$.

Consulte as noções de estimador e estimativa em estimação pontual e adapte-as ao caso da distribuição de Poisson.

☞ proposta de resolução

• $\hat \lambda = \bar X$ é um estimador da média populacional de uma distribuição de Poisson;

• $\hat \lambda = \bar x=2.17$ é uma estimativa da média populacional ficando assim a distribuição de Poisson completamente caracterizada.

Nesta notação $\bar X$ é uma v.a. e $\bar x$ representa um número real.

(c) Tomando a variância amostral corrigida $S_c^2$ como um estimador de $\lambda$, indique uma estimativa para $\lambda$.

☞ sugestões

Consulte o exemplo estimação pontual e adapte ao caso da Poisson.

☞ proposta de resolução

• $\hat \lambda = S_c^2$ é um estimador da variância populacional de uma distribuição de Poisson;

• $\hat \lambda = s_c^2=(1.6)^2=2.56$ é uma estimativa da variância populacional ficando assim a distribuição de Poisson completamente caracterizada.

Nesta notação $S_c^2$ é uma v.a. e $s_c^2$ representa um número real.

(d) Comente o facto de ter obtido duas estimativas distintas para o mesmo parâmetro $\lambda$. Faz sentido?

☞ proposta de resolução

Sim, pois na distribuição de Poisson, o parâmetro $\lambda$ tem um duplo papel: $E[X] = \lambda$ mas, nesta distribuição, $Var[X]=\lambda$.

Assim, tomar a média amostral $\bar X$, ou a variância amostral corrigida $S_c^2$, faz sentido.

Porém, estas duas estimativas não devem estar muito afastadas uma da outra.