ex. 3.2 (*)
Mediu-se o comprimento (em mm) da cauda de 25 ratos do campo escolhidos casualmente tendo observado um valor de \(\bar x\) para a média dessa amostra. Admita que o comprimento da cauda de um rato do campo é bem modelada por uma v.a. \(X\) com distribuição normal, variância conhecida e que \([50.1,\; 52.3]\) representa uma estimativa intervalar, a 95% de confiança, para média \(\mu_X\), obtido com base na amostra das 25 observações.
(a) Recorda-se que o símbolo \(\mu_X\) designa um número real que é a média populacional da distribuição da v.a. \(X\). Assim, a seguinte proposição não faz sentido:
Justifique a razão e indique a interpretação correta para o intervalo \([50.1,\; 52.3]\).
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O enunciado pretende dizer que a afirmação «a média populacional está entre 50.1 e 52.3 com 0.95 de probabilidade»! Apesar de soar bem no ouvido, é uma afirmação falsa!
O conceito e a afirmação correta é: «95% das amostras recolhidas permitem o cálculo de um intervalo de confiança que contém a média populacional correta».
Daqui pode deduzir-se que quando um investigador determina um intervalo, como [50.1, 52.3], ele não tem maneira de saber se este intervalo está nos 95% de intervalos que contêm à média populacional correta. Pode sempre dar-se o caso de ser um dos 5% de intervalos de confiança que não contêm a média populacional correta. Tal indeterminação deriva da natureza aleatória que a Estatística enfrenta: há sempre a possibilidade de uma conclusão errada, esperando-se que esta seja pouco provável!
De um ponto de vista mais matemático:
O modelo matemático sob o qual foi construído o IC, indica que 95% das amostras, de tamanho \(n=25\), vão conter o valor correto de \(\mu_X\) que modela a média populacional, havendo assim margem para que haja amostras que gerem intervalos que não contenham o correto valor do parâmetro \(\mu_X\). Não se pode dizer que há 0.95 de probabilidade de \(\mu_X\) estar nesse intervalo. Apenas se pode afirmar que 95% das amostras vão produzir um intervalo contendo \(\mu_X\), e não sabemos se \([50.1,\; 52.3]\) contém ou não \(\mu_X\).
(b) Se em vez de 95% fosse tomado um grau de confiança igual a 98%, obter-se-ia um novo intervalo de confiança para a média, de maior ou menor amplitude? Justifique.
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gráficos em procedimento
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No caso do «Z Interval», a amplitude é dada por
em que \(z_{1-\alpha/2}\) aumenta com o aumento de \(1 - \alpha\).
Resposta: maior amplitude pois esta depende diretamente do grau de confiança.
(c) Sob que condições o intervalo \([50.1,\; 52.3]\) representa o intervalo com menor amplitude possível, com grau de confiança a 95%, para a média da v.a. \(X\)?
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Há dois tipos de intervalos: Z interval e T interval.
Qual destas duas formas produz um intervalo de confiança de maior amplitude? Porquê?
Consulte
os pressupostos em intervalo de confiança;
a imagem em distribuição t de Student.
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Os intervalos com base na distribuição \(Z\sim N(0,1)\) são sempre menores que os intervalos obtidos com base na distribuição \(t_{n-1}\). Consulte a imagem em distribuição t de Student.
Assim, a fórmula usada para o IC para \(\mu\) deve ser a que usa distribuição \(Z\sim N(0,1)\) e tal só é possível com variância conhecida \(\sigma^2\) e os dados sejam bem modelados por populações normais.
(d) Nas condições da alínea anterior, encontre o valor observado \(\bar x\).
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Observe a expressão do IC em intervalo de confiança. Qual o ponto médio (ou ponto do meio) do intervalo?
Para calcular o ponto médio de um intervalo [A,B] basta Calcular a média aritmética de A e B: (A+B)/2.
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(50.1 + 52.3)/2 = 51.2
Resposta: \(\bar x=51.2\)