ex. 3.2 (*)

Mediu-se o comprimento (em mm) da cauda de 25 ratos do campo escolhidos casualmente tendo observado um valor de $\bar x$ para a média dessa amostra. Admita que o comprimento da cauda de um rato do campo é bem modelada por uma v.a. $X$ com distribuição normal, variância conhecida e que $[50.1,\; 52.3]$ representa uma estimativa intervalar, a 95% de confiança, para média $\mu_X$, obtido com base na amostra das 25 observações.

(a) Recorda-se que o símbolo $\mu_X$ designa um número real que é a média populacional da distribuição da v.a. $X$. Assim, a seguinte proposição não faz sentido:

$$P(50.1 < \mu_X < 52.3)=0.95$$

Justifique a razão e indique a interpretação correta para o intervalo $[50.1,\; 52.3]$.

☞ sugestões

Consultar:

• interpretação do intervalo,

• interpretação da confiança.

☞ solução

O enunciado pretende dizer que a afirmação «a média populacional está entre 50.1 e 52.3 com 0.95 de probabilidade»! Apesar de soar bem no ouvido, é uma afirmação falsa!

O conceito e a afirmação correta é: «95% das amostras recolhidas permitem o cálculo de um intervalo de confiança que contém a média populacional correta».

Daqui pode deduzir-se que quando um investigador determina um intervalo, como [50.1, 52.3], ele não tem maneira de saber se este intervalo está nos 95% de intervalos que contêm à média populacional correta. Pode sempre dar-se o caso de ser um dos 5% de intervalos de confiança que não contêm a média populacional correta. Tal indeterminação deriva da natureza aleatória que a Estatística enfrenta: há sempre a possibilidade de uma conclusão errada, esperando-se que esta seja pouco provável!

De um ponto de vista mais matemático:

O modelo matemático sob o qual foi construído o IC, indica que 95% das amostras, de tamanho $n=25$, vão conter o valor correto de $\mu_X$ que modela a média populacional, havendo assim margem para que haja amostras que gerem intervalos que não contenham o correto valor do parâmetro $\mu_X$. Não se pode dizer que há 0.95 de probabilidade de $\mu_X$ estar nesse intervalo. Apenas se pode afirmar que 95% das amostras vão produzir um intervalo contendo $\mu_X$, e não sabemos se $[50.1,\; 52.3]$ contém ou não $\mu_X$.

(b) Se em vez de 95% fosse tomado um grau de confiança igual a 98%, obter-se-ia um novo intervalo de confiança para a média, de maior ou menor amplitude? Justifique.

☞ sugestões

• amplitude do intervalo

• gráficos em procedimento

☞ solução

No caso do «Z Interval», a amplitude é dada por

$$2 \times z_{1-\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

em que $z_{1-\alpha/2}$ aumenta com o aumento de $1 - \alpha$.

Resposta: maior amplitude pois esta depende diretamente do grau de confiança.

(c) Sob que condições o intervalo $[50.1,\; 52.3]$ representa o intervalo com menor amplitude possível, com grau de confiança a 95%, para a média da v.a. $X$?

☞ sugestões

Há dois tipos de intervalos: Z interval e T interval.

Qual destas duas formas produz um intervalo de confiança de maior amplitude? Porquê?

Consulte

• os pressupostos em intervalo de confiança;

• a imagem em distribuição t de Student.

☞ solução

Os intervalos com base na distribuição $Z\sim N(0,1)$ são sempre menores que os intervalos obtidos com base na distribuição $t_{n-1}$. Consulte a imagem em distribuição t de Student.

Assim, a fórmula usada para o IC para $\mu$ deve ser a que usa distribuição $Z\sim N(0,1)$ e tal só é possível com variância conhecida $\sigma^2$ e os dados sejam bem modelados por populações normais.

(d) Nas condições da alínea anterior, encontre o valor observado $\bar x$.

☞ sugestões

Observe a expressão do IC em intervalo de confiança. Qual o ponto médio (ou ponto do meio) do intervalo?

Para calcular o ponto médio de um intervalo [A,B] basta Calcular a média aritmética de A e B: (A+B)/2.

☞ solução

• (50.1 + 52.3)/2 = 51.2

Resposta: $\bar x=51.2$