ex. 2.33 (*)

Dos comprimentos dos isópodes (bichos-de-conta) sabe-se que \(\mu_X=8\) mm e \(\sigma_X=2\) mm.

Se selecionarmos amostras ao acaso de 35 indivíduos qual a probabilidade, aproximada, das médias de comprimentos nas amostras ser inferior 7.8 mm?

Nota: resolva o exercício considerando uma distribuição genérica.

☞ proposta de resolução

X=text{comprimento de um isópode} quad text{(variável contínua)}

O facto de ser fornecida uma média e um desvio padrão populacionais (\(\mu=8,\,\sigma=2\)) não obriga a que a distribuição seja NormalNão é dito nada sobre a distribuição de X pelo que assumimos X segue uma genérica

A amostra tem dimensão n=35.

Assim, P(Média de X ser inferior a 7.8) tem que ser obtida com base no TLC:

\[\bar X \sim_\text{aprox} \textbf{Normal}\left(\mu_X=8,\,\frac{\sigma_X^2}{n}=\frac{2^2}{35}\right)\]

pois n=35>30 e \(\bar X\) é composta por uma soma de variáveis.

Assim,

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} \PP(\bar X < 7.8) & \approx & \PP(\bar X \le 7.8) \leftarrow \quad \text{Não precisa de correção continuidade} \\ & \approx & \text{CDF.Normal}(-\infty,\, 7.8,\, 8,\, 2/sqrt(35)) \\ & \approx & 0.277 \end{eqnarray*}\end{split}\]