ex. 5.8 (*)

Uma equipa de investigadores, ao abordar o estudo de bases moleculares do envelhecimento, investigou também a possibilidade de que as dietas hipocalóricas prolonguem o tempo de vida. Para o efeito, usaram 9 ratos (Mus minutoides) de uma mesma ninhada que são separados e colocados em gaiolas individuais em ambientes similares, mas com dietas diferentes. Na tabela, encontram-se as Kcal, (x, fornecidas diariamente aos ratos (depois de desmamados e separados) e os respectivos tempos de vida, (y), também em unidades convencionais de 360 dias.

Use a calculadora ou software para responder às seguintes questões.

Calorias

Tempo

12.43

0.049

13.52

0.064

14.42

0.059

15.24

0.051

16.06

0.073

16.88

0.095

17.70

0.245

17.84

0.222

18.76

0.350

(a) Construa um diagrama de dispersão para visualizar a relação entre as variáveis e comente.

☞ proposta de resolução

_images/ex05-08-a.png

O diagrama de dispersão apresenta uma correlação, em média, monótona crescente mas não linear. Como são poucas observações, também não se rejeita já a ideia de uma correlação mesmo linear. (No entanto, vão usar-se estes dados para estudo da regressão linear simples, o tema principal do capítulo).

Como extra, verifica-se que o coeficiente de Spearman (e o seu valor-p) sugerem mais uma correção não linear pois a estimativa de Spearman é 0.9167 (boa correção monótona) e de Pearson é 0.839 (abaixo de 0.90 de uma boa linearidade).

        Spearman's rank correlation rho

data:  dados$Calorias and dados$Tempo
S = 10, p-value = 0.001312
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
    rho
0.9166667


    Pearson's product-moment correlation

data:  dados$Calorias and dados$Tempo
t = 4.0141, df = 7, p-value = 0.005098
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.3834512 0.9643374
sample estimates:
    cor
0.8349468

As calculadoras estimam o coeficiente de determinação r^2 que é R^2=0.695, ou seja, apenas 70% da variabilidade de Y é explicada pela variabilidade em x. É pouco para uma regressão pois o diagrama de dispersão mostra uma curva e não tanto uma reta.


(b) Escreva o modelo teórico de regressão linear simples, exprimindo os tempos de sobrevivência (y) como função da quantidade diária de calorias (x) fornecida na dieta dos ratos.

☞ sugestões

regressão linear simples

☞ proposta de resolução

Usando a notação semelhante à documentação:

  • \(Y_i = b_0+b_1 x_i + \epsilon_i\)

que quer dizer que um modelo matemático de regressão linear é obtido por uma reta (média) \(b_0 + b_1 ` e a esta reta são somados "erros" aleatórios :math:\)epsilon_i` modelados, neste modelo matemático, por uma distribuiçãO normal centrada em zero (o habitual nos erros), e com desvio-padrão \(\sigma\) (ou variância \(\sigma^2\)).

  • \(Y_i\) é uma v.a. que dá o Tempo de vida;

  • \(x_i\) é um valor independente que indica as Calorias consumidas.


(c) Quais são os valores estimados para os parâmetros da regressão?

☞ sugestões

calculadoras gráficas (use «LinRegTTest» e não outras modalidades de regressão das calculadoras)

☞ solução

  • estimativa da ordenada na origem: \(\hat \beta_0 = \hat b_0 = -0.54761\); esta estimativa tem que ser negativa pois a reta estimada cruza o eixo YY abaixo de zero;

  • estimativa do declive: \(\hat \beta_1 = \hat{b}_1 = 0.04296\); este declive nunca é um valor muito elevado, pois o declive usando as coordenadas extremas no gráfico seria \((0.3 - 0.0)/(20-0)\), i.e., muito pequeno.

Erros: no modelo existe uma v.a. \(\epsilon\). Sendo uma v.a. não tem um valor mas representa todos os erros numa amostra que se designam por resíduos: \(e_i = y_i - \hat y\) para um dado \(x_i\). O que pode ser estimado é o desvio padrão dos erros, já que estes são modelados por uma v.a. Normal de média 0 e variância \(\sigma^2\).

Em algumas calculadoras é a letra «s» que o estima: \(\hat \sigma = s\). No entanto, os parâmetros da regressão são apenas \(\beta_0\) e \(\beta_1\).


(d) Qual é a equação da reta de regressão? Faça um esboço do gráfico.

☞ sugestões

Basta usar os coeficientes da alínea anterior: y=mx+b

Para traçar a reta, deve marcar dois pontos, naturalmente.

A equação de reta não tem erro, é mesmo só a equação de uma reta. Veja a resposta anterior.

☞ proposta de resolução

\(\text{tempo} = -0.54761 + 0.04296 \times \text{calorias}\)

_images/ex05-08-b.png

(e) Comente o valor estimado para a ordenada na origem? Tem algum sentido particular no contexto do problema?

☞ sugestões

Sem calorias ingeridas (calorias=0) qual o tempo de vida?

☞ solução

A reta só faz sentido na zona em que as calorias ingeridas permitem o bom desempenho corporal. Se forem abaixo dum certo limiar não faz sentido dizer que a esperança de vida é maior. Neste sentido, os dados fornecidos não apresentam o caso se subnutrição.


(f) Teste se o declive é significativamente diferente de 0, ao nível de significância \(1\%\). Com base nesse teste o que pode concluir quanto ao tipo de dieta alterar o tempo de vida dos ratos.


(f-i) Escreva as hipóteses em causa.

☞ sugestões

A estatística a usar para a inferência sobre o declive usa a distribuição t de Student.

Consulte: inferência da regressão

☞ proposta de resolução

\(H_0: \beta_1 = 0\) vs \(H_1: \beta_1 \neq 0\)

A calculadora apresenta valor-p para este teste.


(f-ii) Registe o valor-p do teste.

☞ sugestões

calculadoras gráficas

☞ solução

valor-p = 0.00509

  • A estatística de teste, na calculadora, costuma surgir na letra «t=…»

  • Também pode ser obtido por: 2xCDF.T(….) a partir desse valor t.


(f-iii) Conclua.

☞ sugestões

É a usual conclusão.

☞ proposta de resolução

Como o valor-p é menor que \(\alpha = 0.01\) rejeita-se H0 (o declive da reta de regressão é significativamente diferente de zero, ao nível de significância de 1%).

Nesta situação, a expressão a usar é «a regressão faz sentido», isto é, em média, o valor de y depende do valor de x. Quando não há regressão, conhecendo x, nada se pode dizer de um valor médio para y.


(g) Teste se o declive é negativo, ao nível de significância 1% Com base nesse teste é de crer que as dietas hipocalóricas prolongam o tempo de vida dos ratos?


(g-i) Escreva as hipóteses em causa.

☞ sugestões

As calculadoras têm a possibilidade de escolha do tipo de teste: unilateral à esquerda, unilateral à direita e bilateral.

☞ proposta de resolução

\(H_0: \beta_1 = 0\) vs \(H_1: \beta_1 <0\).


(g-ii) Registe o valor do valor-p do teste.

☞ sugestões

O valor da estatística de teste é o mesmo porque a amostra é a mesma.

O que agora varia é o tipo de teste (unilateral esquerdo): só se calcula a área à esquerda.

☞ proposta de resolução

valor-p unilateral à esquerda = 0.0002….

Uma técnica, sem calculadora, pode ser esta guia para a conversão de p-values que conduz a dividir 0.00509 por 2.


(g-iii) Conclua.

☞ sugestões

A conclusão usual.

☞ proposta de resolução

Como \(p < \alpha = 0.01\) rejeita-se H0 (a reta de regressão apresenta um declive significativamente negativo, ao nível de significância 1%).

Portanto, é de crer que as dietas hipocalóricas prolongam o tempo de vida dos ratos.


(h) Que alteração média no tempo de vida dos ratos é produzida pela ingestão de mais 1 Kcal diariamente?

☞ sugestões

Uma analogia para ajudar a reflectir: um trabalho em «part-time» resulta na sua poupança média que é dada pela relação:

  • poupança = 120 euros x Mês + 1000 que já tinha, para Mês = 1,2,3,…

Que alteração média na poupança é ganha por trabalhar em part-time mais um mês?

☞ proposta de resolução

A alteração média, pela ingestão de mais 1 Kcal, é o próprio declive \(\hat{b}_1 = 0.04296\).