ex. 5.9

NNa indústria da madeira é usual transacionar a madeira de acordo com o seu volume. A madeira é submersa em água e o seu volume é medido através da variação do nível da água. No entanto, este processo de medição não pode ser aplicado diretamente na floresta e só é aplicável a árvores já abatidas. Uma forma de avaliar o volume das árvores é através do seu diâmetro, que é fácil de medir. O ficheiro arvores.csv contém medições do diâmetro e do volume de um conjunto de 32 árvores apresentando o seguinte diagrama de dispersão:

(a) Indique o coeficiente de correlação amostral entre o diâmetro e o volume.

Pearson's product-moment correlation
data:  dados$DIAMETRO and dados$VOLUME
t = 18.491, df = 30, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.9165703 0.9799006
sample estimates:
cor 0.9588222

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(b) Parece-lhe adequado utilizar um modelo de regressão linear simples para exprimir a variável volume em função do diâmetro?

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(c) Especifique o modelo teórico de regressão linear simples, exprimindo os volumes (y) como função dos diâmetros (x) das árvores.

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$Y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon$ , em que $\epsilon_i\sim N(0, \sigma^2)$ sendo $\sigma^2$ a variância dos erros.

(d) Com base nos dados disponíveis na tabela seguinte quais são os valores estimados para os parâmetros da regressão?

Residuals:

Min	1Q	Median	3Q	Max
-8.6461	-3.6578	0.0203	3.2254	14.3895

Coefficients:

	Estimate	Std. Error	t value	Pr( $>\|t\|$ )
(Intercept)	-38.8564	3.8914	-9.985	4.74e-11
DIAMETRO	5.2466	0.2837	18.491	$<$ 2e-16

Residual standard error: 4.981 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9193, Adjusted R-squared: 0.9167
F-statistic: 341.9 on 1 and 30 DF, p-value: < 2.2e-16

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$\hat{b}_0 = -38.856,\ \hat{b}_1 = 5.247$

(e) Qual é a equação da reta de regressão?

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$y = -38.856 + 5.247 x$

(f) Avalie a qualidade e significado da regressão utilizando:

(f-i) O gráfico de dispersão

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(f-ii) O coeficiente de determinação

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$R^2 = 0.919$ (superior a 0.9)

(f-iii) O teste ao declive ( $\alpha=0.05$ )

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$H_0: b_1 = 0$ vs $H_1: b_1 \neq 0$ , valor $p = 0.0 < \alpha$ , rejeita-se $H_0$

(g) Efetue, com base na informação seguinte, uma análise de resíduos para validar os pressupostos de realização de uma análise de regressão linear.

Shapiro-Wilk normality test
data:  residuals(modelo)
W = 0.96431, p-value = 0.3587

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