ex. 2.17 (*)
O peso médio dos indivíduos duma certa espécie de bivalves é 31 g e o respectivo desvio padrão é 2.4 g. Considere uma amostra aleatória de 36 indivíduos desta espécie.
(a) Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra ser inferior a 30g?
☞ sugestões
O que descreve a v.a. X? X = «…..»
Leituras:
No enunciado de (a) a expressão «média da amostra» refere-se média amostral enquanto v.a..
No enunciado do exercício, a expressão «peso médio» refere-se à média populacional pois é um valor.
A função de distribuição de X é distribuição genérica. Porquê?
Não é preciso usar «correção à continuidade» pois o «peso» é uma variável aleatória contínua tal como é a distribuição normal.
Formulário:
\[\bar X \sim_{approx} N( \mu, \sigma^2/n)\]
☞ proposta de resolução
X = peso de um bivalve (de uma certa espécie).
X não tem uma distribuição dada no enunciado; assim diz-se que é genérica.
Desta distribuição genérica, sabe-se que:
a média populacional (ou valor esperado) é \(\mu=31\) g;
o desvio padrão populacional (a razi da variância) é \(\sigma=2.4\) g.
Como não se conhece a distribuição concreta de X, dizendo que é genérica, então usamos um dos maiores resultados da estatística: teorema do limite central.
O teorema do limite central pode ser usado, com pouco erro no resultado, quando \(n\ge 30\). Sendo n=36 maior que o limiar 30 garante-se um pequeno erro. Assim,
então
Depois, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.
Resposta: 0.0062
(b) Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra estar compreendida entre 30 e 32 g, exclusive?
☞ sugestões
Como visto na alínea anterior, X segue uma distribuição genérica de média populacional 31 e desvio padrão 2.4.
O teorema do limite central pode ser usado, com pouco erro no resultado, quando \(n\ge 30\). Sendo n=36 maior que o limiar 30 garante-se um pequeno erro. Assim,
\[\bar X \sim_{aprox} N( 31; 2.4^2/{36})\]Pode ser usado o mecanismo lower/upper nas calculadora gráfica ou \(P(a < X < b) = P(X \le b) - P(X \le a)\) na generalidade do software como o Excel, SPSS, R, etc.
☞ proposta de resolução
Usando «lower» e «upper»:
Usando \(P(a < X < b) = P(X \le b) - P(X \le a)\) temos:
0.9876
(c) Qual a probabilidade, aproximada, de que o peso total da amostra seja superior a 1100g?
☞ sugestões
A expressão «peso total da amostra» é aqui considerada como uma v.a.: \(Y = X_1 + \cdots + X_{36}\) (soma de 36 pesos aleatórios).
Como X não segue uma distribuição desconhecida (dizemos que segue uma genérica), então devemos recorrer ao teorema do limite central para identificar os parâmetros da distribuição normal que permite resolver o problema (procurar a expressão para a soma de v.a.).
Depois de conhecer os parâmetros, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.
Pode ser usado o mecanismo lower/upper nas calculadora gráfica ou \(P(X > a) = 1 - P(X \le a)\), por exemplo no R e Excel.
☞ proposta de resolução
Usando «lower» e «upper»:
Usando \(P(X > a) = 1 - P(X \le a)\) temos:
Resposta: 0.8667
FIM