O peso médio dos indivíduos duma certa espécie de bivalves
é 31 g e o respectivo desvio padrão é 2.4 g.
Considere uma amostra aleatória de 36 indivíduos desta espécie.
X = peso de um bivalve (de uma certa espécie).
X não tem uma distribuição dada no enunciado; assim diz-se que é genérica.
Desta distribuição genérica, sabe-se que:
Como não se conhece a distribuição concreta de X, dizendo que é genérica, então usamos um dos
maiores resultados da estatística: teorema do limite central.
O teorema do limite central pode ser usado, com pouco erro no resultado, quando n\ge 30. Sendo n=36 maior que o limiar 30 garante-se um pequeno erro. Assim,
\bar X \sim_{aprox} N( 31; 2.4^2/{36})
então
P( \bar X < 30 ) \approx CDF.Normal(lower=-1E10, upper=30, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )
Depois, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.
Resposta: 0.0062
Usando «lower» e «upper»:
P( 30 < \bar X < 32 ) \approx CDF.Normal(lower=30, upper=32, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )
Usando P(a < X < b) = P(X \le b) - P(X \le a) temos:
P( 30 < \bar X < 32 ) \approx CDF.Normal(x=32, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} ) - CDF.Normal(x=30, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )
0.9876
A expressão «peso total da amostra» é aqui considerada como uma v.a.:
Y = X_1 + \cdots + X_{36} (soma de 36 pesos aleatórios).
Como X não segue uma distribuição desconhecida (dizemos que segue uma genérica), então devemos recorrer ao teorema do limite central para identificar os parâmetros da distribuição normal que permite resolver o problema (procurar a expressão para a soma de v.a.).
Y = X_1+\cdots+X_n \sim_{aprox} N(n \, \mu; n \, \sigma^2)
Depois de conhecer os parâmetros, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.
Pode ser usado o mecanismo lower/upper nas calculadora gráfica ou P(X > a) = 1 - P(X \le a), por exemplo no R e Excel.
Y = X_1 + \cdots + X_{36} \sim_{aprox} Normal( 36 \times 31, 36 \times 2.4^2)
Usando «lower» e «upper»:
P( Y > 1100 ) \approx CDF.Normal(lower=1100, upper=1E10, \mu=36 \times 31, \sigma=\sqrt{36 \times 2.4^2} )
Usando P(X > a) = 1 - P(X \le a) temos:
P( Y > 1100 ) \approx 1 - CDF.Normal(x=1100, \mu=36 \times 31, \sigma=\sqrt{36 \times 2.4^2} )
Resposta: 0.8667