ex. 2.17 (*)

O peso médio dos indivíduos duma certa espécie de bivalves é 31 g e o respectivo desvio padrão é 2.4 g. Considere uma amostra aleatória de 36 indivíduos desta espécie.

(a) Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra ser inferior a 30g?

☞ sugestões

• O que descreve a v.a. X? X = «…..»

Leituras:

• No enunciado de (a) a expressão «média da amostra» refere-se média amostral enquanto v.a..

• teorema do limite central

• No enunciado do exercício, a expressão «peso médio» refere-se à média populacional pois é um valor.

• A função de distribuição de X é distribuição genérica. Porquê?

• Não é preciso usar «correção à continuidade» pois o «peso» é uma variável aleatória contínua tal como é a distribuição normal.

Formulário:

$$\bar X \sim_{approx} N( \mu, \sigma^2/n)$$

calculadora gráfica

☞ proposta de resolução

X = peso de um bivalve (de uma certa espécie).

X não tem uma distribuição dada no enunciado; assim diz-se que é genérica.

Desta distribuição genérica, sabe-se que:

• a média populacional (ou valor esperado) é $\mu=31$ g;

• o desvio padrão populacional (a razi da variância) é $\sigma=2.4$ g.

Como não se conhece a distribuição concreta de X, dizendo que é genérica, então usamos um dos maiores resultados da estatística: teorema do limite central.

O teorema do limite central pode ser usado, com pouco erro no resultado, quando $n\ge 30$. Sendo n=36 maior que o limiar 30 garante-se um pequeno erro. Assim,

$$\bar X \sim_{aprox} N( 31; 2.4^2/{36})$$

então

$$P( \bar X < 30 ) \approx CDF.Normal(lower=-1E10, upper=30, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )$$

Depois, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.

Resposta: 0.0062

(b) Qual a probabilidade, aproximada, da média da amostra estar compreendida entre 30 e 32 g, exclusive?

☞ sugestões

Como visto na alínea anterior, X segue uma distribuição genérica de média populacional 31 e desvio padrão 2.4.

O teorema do limite central pode ser usado, com pouco erro no resultado, quando $n\ge 30$. Sendo n=36 maior que o limiar 30 garante-se um pequeno erro. Assim,

$$\bar X \sim_{aprox} N( 31; 2.4^2/{36})$$

Pode ser usado o mecanismo lower/upper nas calculadora gráfica ou $P(a < X < b) = P(X \le b) - P(X \le a)$ na generalidade do software como o Excel, SPSS, R, etc.

☞ proposta de resolução

Usando «lower» e «upper»:

$$P( 30 < \bar X < 32 ) \approx CDF.Normal(lower=30, upper=32, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )$$

Usando $P(a < X < b) = P(X \le b) - P(X \le a)$ temos:

$$P( 30 < \bar X < 32 ) \approx CDF.Normal(x=32, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} ) - CDF.Normal(x=30, \mu=31, \sigma=\sqrt{2.4^2/36} )$$

0.9876

(c) Qual a probabilidade, aproximada, de que o peso total da amostra seja superior a 1100g?

☞ sugestões

A expressão «peso total da amostra» é aqui considerada como uma v.a.: $Y = X_1 + \cdots + X_{36}$ (soma de 36 pesos aleatórios).

Como X não segue uma distribuição desconhecida (dizemos que segue uma genérica), então devemos recorrer ao teorema do limite central para identificar os parâmetros da distribuição normal que permite resolver o problema (procurar a expressão para a soma de v.a.).

$$Y = X_1+\cdots+X_n \sim_{aprox} N(n \, \mu; n \, \sigma^2)$$

Depois de conhecer os parâmetros, pode usar: consulta da tabela da normal ou calculadora gráfica.

Pode ser usado o mecanismo lower/upper nas calculadora gráfica ou $P(X > a) = 1 - P(X \le a)$, por exemplo no R e Excel.

☞ proposta de resolução

$$Y = X_1 + \cdots + X_{36} \sim_{aprox} Normal( 36 \times 31, 36 \times 2.4^2)$$

Usando «lower» e «upper»:

$$P( Y > 1100 ) \approx CDF.Normal(lower=1100, upper=1E10, \mu=36 \times 31, \sigma=\sqrt{36 \times 2.4^2} )$$

Usando $P(X > a) = 1 - P(X \le a)$ temos:

$$P( Y > 1100 ) \approx 1 - CDF.Normal(x=1100, \mu=36 \times 31, \sigma=\sqrt{36 \times 2.4^2} )$$

Resposta: 0.8667

FIM