ex. 2.13

Num estudo ecológico realizado durante uma década mediu-se diariamente a concentração de estrôncio (mg/ml) numa dada localização do rio Tejo. Considere a variável Y que representa a concentração anual de estrôncio no rio Tejo e admita que Y segue uma lei normal de média 40 $mg/ml$ e variância 11 $(mg/ml)^2$ .

(a) Encontre o terceiro quartil associado à v.a. Y e interprete-o no contexto do problema.

☞ sugestões

Qual a descrição da v.a.? $Y = .....$
Qual a distribuição da v.a.? $Y \sim ...$
Qual é o símbolo usado para 40 $mg/ml$ ?
Qual é o símbolo usado para 11 $(mg/ml)^2$ ? O que representam estas quantidades?

Consulte quantil da normal.

☞ solução

Y = concentração anual de estrôncio.
$Y \sim N(\mu=40,\; \sigma^2=11)$
40 indica a localização central e 11 indica uma medida de dispersão através da variância.
inv.normal(0.75, 40, sqrt(11))

Resposta: 42.2 $mg/ml$

Interpretação: 75% da população, de acordo com este modelo matemático, tem uma concentração de estrôncio igual ou inferior a 42.2 $mg/ml$ (igualmente, pode-se também afirmar que 25% da população tem uma concentração de estrôncio igual ou superior a 42.2 $mg/ml$ .

(b) Calcule $P(Y>40|Y>37)$ e interprete esta probabilidade no contexto do problema.

☞ sugestões

Aplique $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ao caso com $A=Y>40`e :math:`B=Y>37$ .
Qual é a intersecção de $Y>40 \cap Y>37$ ?

Use a sua calculadora gráfica ou consulta da tabela da normal

☞ solução

$Y>40 \cap Y>37 = Y>40$ , pois intersecção quer dizer «elementos em comum».
$P(Y>40|Y>37) = P(A|B) = \frac{P(Y>40)}{P(Y>37)}$
P(Y>40) = 0.5 (a Normal é simétrica na média)
P(Y>37) = 0.8171439

Resposta: 0.61

Interpretação: se alguém nos disser que a concentração é superior a 37 $mg/ml$ então a probabilidade desta ser superior a 40 será diferente do que se não soubessemo que Y>37.

A probabilidade é condicionada pelo que se sabe:

sem se saber que $Y>37$ então $P(Y>40)=0.5$ (40 é a mediana e média);
sabendo que $Y>37$ , portanto calculando $P(Y>40|Y>37)$ , a probabilidade de Y>40 é 0.61.

Outro exemplo:

Sabendo que estamos no inverno, a probabilidade de chover é elevada: P(chuva|inverno)
Sabendo que estamos no verão, a probabilidade de chover é baixa: P(chuva|verão)
Não sabendo se estamos no verão ou no inverno, a probabilidade de chuva é um valor intermédio entre aqueles dois extremos. Válido para o exemplo tem-se P(chuva|verão) < P(chuva) < P(chuva|inverno).

(c) Considere a v.a.

W = «número de anos, com concentração anual de estrôncio entre 37 e 43

$mg/ml$ (inclusive), no rio Tejo, no periodo de uma década»

em que o intervalo de concentrações 37 a 43 representam valores típicos.

Assim,

(i) Identifique, justificando, a distribuição de W.
(ii) Encontre $E[10-W]$ e interprete o resultado no contexto do problema.

☞ sugestões

☞ solução

(i) $W \sim B(10,\;0.6343)$ ;
(ii) 3.6571; W mede o número de anos típicos em 10; assim, 10-W mede o número de anos com concentração atípica; finalmente, $E[10-W]$ indica o número médio de anos com concentração atípica.

(d) Até à década de 90, a generalidade das calculadoras não tinha a distribuição binomial implementada e a estratégia era usar o teorema do limite central. Nessas condições, responda à questão

Ao longo de um século, qual a probabilidade de, em pelo menos 72 anos, se registar uma concentração anual de estrôncio entre 37 e 43

$mg/ml$ no rio Tejo?

☞ sugestões

Recorda-se que a variável Y representa a concentração anual de estrôncio no rio Tejo e segue uma normal.

Considere a v.a. binomial

S = número de anos com concentração de estrôncio entre 37 e 43 no rio Tejo no conjuntos de 100 anos

em que

sucesso é «concentração de estrôncio entre 37 e 43»
são observados n=100 anos (considerando 100 experiências independentes).

tem distribuiçao aproximadamente normal $S \sim_{aprox} N(np,np(1-p))$ pois $n>30$ .

☞ proposta de resolução

Recordando, a variável Y representa a concentração anual de estrôncio no rio Tejo e segue uma normal.

A variável S define-se como sendo o nr. de sucessos em 100 «tentativas» (cada ano é uma tentativa), binomial, pois

um século são 100 anos e assim n = 100 «experiências» (de observação do estrôncio em cada ano).

p = P(«sucesso») = P(37 < concentração X < 43) usando cdf.normal.

A maneira exata de calcular P(S>=72) é, usando a notação das calculadoras,

cdf.binomial(lower=72, upper=100, trials=100, p = ver acima)

A outra maneira, como se fazia sem calculadoras, era observar que «número de sucessos» é na realidade somar v.a. cujos valores são 0 ou 1, i.e., 0+1+1+0+1+1+etc = número total de sucessos (veja aqui).

Se S é uma soma de v.a. então pode aplicar-se o TLC:

S segue aproximadamente uma Normal(Média de Y, Variância de Y)

e como a v.a. S é binomial então

E[S] = np

Var[S] = np(1-p).

ou seja $S \sim \text{Normal}(np,np(1-p))$ .

Resposta:

0.04493 (exato pela cdf.binomial)

0.0279 (usando TLC que aproxima a binomial à normal)

Importante: sempre que há uma soma de muitas v.a. pode-se aplicar o TLC que diz que a distribuição será aproximadamente Normal.

FIM