ex. 3.4 (*)

O consumo mensal de calorias (kcal/g) de uma certa espécie de esquilos é bem modelado por uma distribuição normal, com desvio padrão \(\sigma=0.16\) (parâmetro populacional). Recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão \(n=18\) cuja média amostral foi de \(\bar x=0.41\).

(a) Obtenha um intervalo de confiança, a 95%, para o consumo médio de calorias.

☞ sugestões

  • Qual a v.a. X?

  • Qual é a distribuição de X?

  • Qual o tipo de intervalo quando se tem \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\) e \(\sigma^2\) conhecida?

Consulte o guia de procedimentos para a inferência para uma única população.

A expressão do IC é procedimento para obter o IC.

☞ proposta de resolução

Tem-se, do enunciado,

  • X = «consumo mensal de calorias (kcal/g)»

e que

  • \(X \frown \text{Normal}(\mu,\sigma^2=0.16^2)\) (o valor \(\sigma\), desvio padrão populacional, é conhecido).

Então usa-se o «Z INTERVAL» (consulte o guia de procedimentos).

Com base em procedimento para obter o IC:

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} IC_{95\%}(\mu) & = & \left[ \bar x - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n}, \quad \bar x + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt n} \right] \\ & = & \left[ 0.41 - 1.96 \frac{0.16}{\sqrt{18}}, \quad 0.41 + 1.96 \frac{0.16}{\sqrt{18}} \right] \\ \end{eqnarray*}\end{split}\]

O que é o \(z_{1-\alpha/2}\)? De onde vem o 1.96? Consulte distribuição normal padrão Z.

Resposta: \(IC_{95\%}(\mu)=[0.336,\;0.484]\)


(b) Qual deve ser a dimensão da amostra para que um intervalo de confiança a 95% para a média tenha amplitude 0.2?

☞ sugestões

Neste enunciado, o valor de n passa a ser desconhecido, passa a ser a incóntica pois quanto maior o valor de n menor será a amplitude do IC.

O valor de \(\sigma=0.16\) e o quantil z=1.96 são mantidos.

As indicações em amplitude do IC ajudam a entender as noções de amplitude do IC e como se calcula.

Será depois necessário resolver amplitude=0.2 e determinar o n.

☞ proposta de resolução

Ao resolver de acordo com amplitude do IC obtém-se n=9.8 mas o valor de n deve ser inteiro.

Para salvaguardar que a amplitude não seja superior a 0.2 então n=10.

Resposta: são necessárias 10 observações de consumos para obter um IC com a amplitude desejada.