ex. 2.30 (*)

Numa reserva natural morrem em média 5.5 tartarugas adultas por mês com um desvio padrão de 1.4. Vai ser desenvolvido um estudo de 3 anos nessa reserva.

Pretende-se calcular a probabilidade de no final do estudo os investigadores terem encontrado mais de 200 ocorrências de morte.

Siga as várias etapas.


(a) Perante o enunciado, defina uma v.a. X apropriada. Qual a distribuição de X?

sugestões

proposta de resolução

  • X = número de tartarugas adultas mortas em um mês.

  • \(X \sim \text{generica}\) com média populacional \(\mu=5.5\) e \(\sigma=1.4\).

Nota: X é do tipo «número de ocorrências por unidade de tempo» e a distribuição sugerida seria a Poisson. Porém o enunciado é omisso; não indica qual a distribuição e assim considera-se genérica.


(b) Especifique uma v.a. Y para o número de mortes ao final de 3 anos na reserva.

sugestões

  • A v.a. X é uma contagem para um mês.

  • Assim, Y será uma contagem para quantos meses? Quantas v.a. «X» são precisas para 3 anos?

proposta de resolução


(c) Qual a distribuição, aproximada, de Y?

sugestões

Sendo Y uma soma de v.a. independentes e identicamente distribuídas, todas de uma população genérica, então pode aplicar-se o teorema do limite central.

Recorde qual das expressões pode aplicar para saber a distribuição aproximada de Y.

proposta de resolução

\(Y \sim_{aprox} N(36 \times 5.5,\; 36 \times (1.4)^2)\)

  • Porquê (1.4)^2 ?

  • Porquê 36?


(d) Use notação matemática para escrever «a probabilidade de no final do estudo os investigadores terem encontrado mais de 200 ocorrências de morte.»

proposta de resolução

Sendo uma contagem usa-se rigorosamente \(>\):

\[P( Y > 200)\]

(e) Calcule a probabilidade pedida recorrendo à correção à continuidade.

sugestões

proposta de resolução

O valor exato de probabilidade é \(P( Y > 200)\) que será aproximado, usando uma notação padronizada,

\[P( Y \ge 200.5) = \text{cdfnormal}(200.5,\; +\infty,\; \mu_Y=36\times 5.5,\; \sigma_Y=\sqrt{36 \times 1.4^2})\]

Assim,

\[P( Y > 200) \approx 0.383\]

FIM