ex. 2.30 (*)

Numa reserva natural morrem em média 5.5 tartarugas adultas por mês com um desvio padrão de 1.4. Vai ser desenvolvido um estudo de 3 anos nessa reserva.

Pretende-se calcular a probabilidade de no final do estudo os investigadores terem encontrado mais de 200 ocorrências de morte.

Siga as várias etapas.

(a) Perante o enunciado, defina uma v.a. X apropriada. Qual a distribuição de X?

☞ sugestões

• Qual a unidade de tempo base?

• Qual a descrição da v.a.? $X = .....$

• Qual a distribuição da v.a.? Será distribuição normal? Será distribuição de Poisson? Será distribuição genérica?

• Qual a média populacional? Qual o desvio padrão populacional?

☞ proposta de resolução

• X = número de tartarugas adultas mortas em um mês.

• $X \sim \text{generica}$ com média populacional $\mu=5.5$ e $\sigma=1.4$.

Nota: X é do tipo «número de ocorrências por unidade de tempo» e a distribuição sugerida seria a Poisson. Porém o enunciado é omisso; não indica qual a distribuição e assim considera-se genérica.

(b) Especifique uma v.a. Y para o número de mortes ao final de 3 anos na reserva.

☞ sugestões

• A v.a. X é uma contagem para um mês.

• Assim, Y será uma contagem para quantos meses? Quantas v.a. «X» são precisas para 3 anos?

☞ proposta de resolução

• Seja $X_1$ o número de tartarugas mortas no primeiro mẽs, $X_2$ para o segundo mês, etc.

• Assumimos que as v.a. são independentes e identicamente distribuídas.

• Assim: $Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_{36}$

(c) Qual a distribuição, aproximada, de Y?

☞ sugestões

Sendo Y uma soma de v.a. independentes e identicamente distribuídas, todas de uma população genérica, então pode aplicar-se o teorema do limite central.

Recorde qual das expressões pode aplicar para saber a distribuição aproximada de Y.

☞ proposta de resolução

$Y \sim_{aprox} N(36 \times 5.5,\; 36 \times (1.4)^2)$

• Porquê (1.4)^2 ?

• Porquê 36?

(d) Use notação matemática para escrever «a probabilidade de no final do estudo os investigadores terem encontrado mais de 200 ocorrências de morte.»

☞ proposta de resolução

Sendo uma contagem usa-se rigorosamente $>$:

$$P( Y > 200)$$

(e) Calcule a probabilidade pedida recorrendo à correção à continuidade.

☞ sugestões

Consulte os documentos:

• teorema do limite central

• calculadoras gráficas

• consulta da tabela da normal

☞ proposta de resolução

O valor exato de probabilidade é $P( Y > 200)$ que será aproximado, usando uma notação padronizada,

$$P( Y \ge 200.5) = \text{cdfnormal}(200.5,\; +\infty,\; \mu_Y=36\times 5.5,\; \sigma_Y=\sqrt{36 \times 1.4^2})$$

Assim,

$$P( Y > 200) \approx 0.383$$

FIM