ex. 2.29 (*)

A longevidade de uma dáfnia (pulga de água) segue uma distribuição normal com $\mu_X=2000$ horas e $\sigma_X=200$ horas.

☞ sugestões

(a) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: mais de 2000 horas?

☞ proposta de resolução

A interpretação de «mais de 2000» é $X > 2000$ .

Assim,

$P(X > 2000) = P(X \ge 2000) = 0.5$

pois 2000 é a média e mediana desta distribuição normal que é simétrica e centrada em 2000 horas.

Como explicado em distribuição contínua, sendo X uma v.a. contínua então $P(X = 2000) = 0$ e assim $P(X > 2000) = P(X \ge 2000)$ .

(b) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: menos de 1470 horas?

☞ proposta de resolução

A interpretação de «menos de 1470» é $X < 1470$ . Assim,

$P(X < 1470) = P(X \le 1470) = \text{CDF.Normal(lower=10e10, upper=1470, 2000, 200)} = 0.004024589$

> pnorm(1470,2000,200)
[1] 0.004024589

(c) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: entre 1800 e 2200 horas?

☞ proposta de resolução

A interpretação de «entre 1800 e 2200 horas» é $1800 \le X \le 2200$ .

Para máquinas que usem a notação «lower/upper»:

$P(1800 \le X \le 2200) = \text{CDF.Normal(lower=1800, upper=1470, 2000, 200)} = 0.6826895$

Para máquinas que não usem a notação «lower/upper» e software:

$P(1800 \le X \le 2200) = P(X \le 2200) - P(X \le 1800) = 0.6826895$

(recordando que as probabilidades pontuais são 0.)

> pnorm(2200,2000,200) -  pnorm(1800,2000,200)
[1] 0.6826895

Nota complementar. Sendo $\sigma=200$ então esta probabilidade é um caso padronizado (ver slide 43):

$\begin{split}\begin{eqnarray*} P(1800 \le X \le 2200) & = & P(2000 - \sigma \le X \le 2000 + \sigma) \\ & \approx & 0.68 \end{eqnarray*}\end{split}$

(d) No máximo, 90% das dáfnias vivem quantas horas?

☞ proposta de resolução

Pretende resolver-se: $P(X \le x) = 0.9$ .

Para esse fim, existem nas calculadoras as funções «inv.normal»:

x = inv.normal(0.9, 2000, 200) = 2256.31

Em R é assim:

> qnorm(0.9, 2000,200)
[1] 2256.31

Resposta: 90% das dáfnias vivem 2256.31 horas ou menos.