ex. 2.29 (*)

A longevidade de uma dáfnia (pulga de água) segue uma distribuição normal com \(\mu_X=2000\) horas e \(\sigma_X=200\) horas.

☞ sugestões

Escolha a sua calculadora gráfica e procure distribuição Normal.

(a) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: mais de 2000 horas?

☞ proposta de resolução

  • X = «longevidade de uma dáfnia (em horas)»

  • \(X \sim N(2000, 200^2)\)

A interpretação de «mais de 2000» é \(X > 2000\).

Assim,

\[P(X > 2000) = P(X \ge 2000) = 0.5\]

pois 2000 é a média e mediana desta distribuição normal que é simétrica e centrada em 2000 horas.

Como explicado em distribuição contínua, sendo X uma v.a. contínua então \(P(X = 2000) = 0\) e assim \(P(X > 2000) = P(X \ge 2000)\).


(b) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: menos de 1470 horas?

☞ proposta de resolução

  • X = «longevidade de uma dáfnia (em horas)»

  • \(X \sim N(2000, 200^2)\)

A interpretação de «menos de 1470» é \(X < 1470\). Assim,

\[P(X < 1470) = P(X \le 1470) = \text{CDF.Normal(lower=10e10, upper=1470, 2000, 200)} = 0.004024589\]
> pnorm(1470,2000,200)
[1] 0.004024589

(c) Qual a probabilidade de uma dáfnia viver: entre 1800 e 2200 horas?

☞ proposta de resolução

  • X = «longevidade de uma dáfnia (em horas)»

  • \(X \sim N(2000, 200^2)\)

A interpretação de «entre 1800 e 2200 horas» é \(1800 \le X \le 2200\).

Para máquinas que usem a notação «lower/upper»:

\[P(1800 \le X \le 2200) = \text{CDF.Normal(lower=1800, upper=1470, 2000, 200)} = 0.6826895\]

Para máquinas que não usem a notação «lower/upper» e software:

\[P(1800 \le X \le 2200) = P(X \le 2200) - P(X \le 1800) = 0.6826895\]

(recordando que as probabilidades pontuais são 0.)

> pnorm(2200,2000,200) -  pnorm(1800,2000,200)
[1] 0.6826895

Nota complementar. Sendo \(\sigma=200\) então esta probabilidade é um caso padronizado (ver slide 43):

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} P(1800 \le X \le 2200) & = & P(2000 - \sigma \le X \le 2000 + \sigma) \\ & \approx & 0.68 \end{eqnarray*}\end{split}\]

(d) No máximo, 90% das dáfnias vivem quantas horas?

☞ proposta de resolução

  • X = «longevidade de uma dáfnia (em horas)»

  • \(X \sim N(2000, 200^2)\)

Pretende resolver-se: \(P(X \le x) = 0.9\).

Para esse fim, existem nas calculadoras as funções «inv.normal»:

x = inv.normal(0.9, 2000, 200) = 2256.31

Em R é assim:

> qnorm(0.9, 2000,200)
[1] 2256.31

Resposta: 90% das dáfnias vivem 2256.31 horas ou menos.