ex. 2.6 (*)

Seja X a v.a. que representa o número de bactérias de um certo tipo existentes num $cm^3$ de água. Suponha que X tem distribuição de Poisson e que a probabilidade de não haver bactérias num $cm^3$ de água é igual a 0.05.

(a) Qual o número médio de bactérias num $cm^3$ de água?

☞ sugestões

• Qual a expressão para $P(X=x)$ ? Ver em distribuição de Poisson.

• Como escrever «a probabilidade de não haver bactérias num $cm^3$ de água é igual a 0.05» em termos de $P(X=x)$ ?

• No caso da distribuição de Poisson, o que significa o número médio?

☞ proposta de resolução

Consulte em distribuição de Poisson a função f(x). Assim, f(0)=P(X=0) é a probabilidade de não existirem bactérias.

$$\begin{split}\begin{eqnarray*} exp(-\lambda) \frac{\lambda^0}{0!} & = & 0.05 \\ exp(-\lambda) & = & 0.05 \\ -\lambda & = & \ln(0.05) \approx -3 \\ \lambda & \approx & 3 \end{eqnarray*}\end{split}$$

Resposta: $\lambda \approx 3$

(b) Calcule $P(X=1 | X>0)$ e interprete esta probabilidade no contexto do problema dado.

☞ sugestões

Algumas sugestões são:

• O traço «|» (ou por vezes «") designa probabilidade condicionada: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

• Qual a interseção: $X=1 \cap X>0$ ? É um ponto ou um intervalo real?

• Use o «complementar»: $P(X>0) = 1 - P( ? )$

• Neste exercício não é necessário mas pode usar calculadora gráfica.

☞ solução

$\approx0.1572$

(c) Calcule $Var(1-3X)$.

☞ sugestões

Algumas sugestões são:

• Aplicar as propriedades da variância

• Nota: uma variância nunca é negativa!

• Qual a variância de X quando X tem distribuição de Poisson?

☞ solução

Resposta: $27$

(d) Determine a probabilidade de que num $cm^3$ de água existam pelo menos 2 bactérias.

☞ sugestões

«Pelo menos 2» deve ser traduzido em $\ge$ ou $\le$ ?

• Temos pelo menos dois dedos.

☞ solução

$\approx0.8009$

(e) Indique, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação:

O número de bactérias de um certo tipo existentes em 2 $cm^3$ de

água é modelado pela v.a. $Y=2X$.

☞ sugestões

O número de bactérias é sempre igual nos dois $cm^3$ ? Ou cada $cm^3$ é representado por uma diferente variável aleatória?

☞ solução

Pode ser Y=X1+X2 (mas nunca Y=2X!).

Proposição Falsa.

(f) Qual a probabilidade de que numa amostra de dois $cm^3$ de água existam quanto muito 3 bactérias?

☞ sugestões

Numa representação simplista, cada $cm^3$ pode ser visto como uma unidade independente. Assim a representação de «2 $cm^3$» é: $X_1 + X_2$, isto é, uma v.a. para cada $cm^3$.

A expressão «quanto muito» é $\ge$ ou $\le$? Por exemplo, quanto muito faltam 5 dias para as férias.

Qual a distribuição de $X_1 + X_2$? Consulte as propriedades da Poisson.

☞ solução

$\approx0.1512$

(g) São recolhidas ao acaso 5 amostras de 1 $cm^3$ de água. Qual a probabilidade de existir pelo menos uma bactéria em cada uma das 5 amostras?

☞ sugestões

• estude os exemplos;

• definição do sucesso: Conterá a «amostra 1» mais que 1 bactéria? Conterá a «amostra 2» mais que 1 bactéria? … Conterá a «amostra 5» mais que 1 bactéria?

Considere a v.a. W=»número de amostras de 1 $cm^3$ com pelo menos 1 bactéria no conjunto das 5 amostras».

• O que pode ser o «sucesso» na v.a. W?

• Qual a probabilidade desse sucesso? (use a calculadora)

• Quantas amostras independentes são analisadas?

Assim, qual a distribuição da v.a. ? Será distribuição binomial? distribuição de Poisson?

☞ proposta de resolução

W segue Binomial(n=5, p=P(X >= 1)) em que X ~ Poisson($\lambda=3$)

Resposta: $\approx0.7746$

Os algarismos da resposta podem variar consoante as casas decimais usadas para «p». Por exemplo, na linguagem R tem-se

> 1 - ppois(0,3)   #Valor de "p" = P(X>=1) = 1 - P(X<=0)
[1] 0.9502129

e, neste exercício, o resultado varia com os algarismos usados:

> dbinom(5, 5, 0.9502129)  #Muitas casas decimais
[1] 0.7746484
> dbinom(5, 5, 0.95)       #Apenas casas decimais
[1] 0.7737809

Uma regra não rígida é usar mais 2 casas decimais que as exigidas num resultado. Porém, deve existir capacidade crítica para as situações numéricas.

FIM