ex. 2.6 (*)

Seja X a v.a. que representa o número de bactérias de um certo tipo existentes num \(cm^3\) de água. Suponha que X tem distribuição de Poisson e que a probabilidade de não haver bactérias num \(cm^3\) de água é igual a 0.05.


(a) Qual o número médio de bactérias num \(cm^3\) de água?

☞ sugestões

  • Qual a expressão para \(P(X=x)\) ? Ver em distribuição de Poisson.

  • Como escrever «a probabilidade de não haver bactérias num \(cm^3\) de água é igual a 0.05» em termos de \(P(X=x)\) ?

  • No caso da distribuição de Poisson, o que significa o número médio?

☞ proposta de resolução

Consulte em distribuição de Poisson a função f(x). Assim, f(0)=P(X=0) é a probabilidade de não existirem bactérias.

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} exp(-\lambda) \frac{\lambda^0}{0!} & = & 0.05 \\ exp(-\lambda) & = & 0.05 \\ -\lambda & = & \ln(0.05) \approx -3 \\ \lambda & \approx & 3 \end{eqnarray*}\end{split}\]

Resposta: \(\lambda \approx 3\)


(b) Calcule \(P(X=1 | X>0)\) e interprete esta probabilidade no contexto do problema dado.

☞ sugestões

Algumas sugestões são:

  • O traço «|» (ou por vezes «") designa probabilidade condicionada: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

  • Qual a interseção: \(X=1 \cap X>0\) ? É um ponto ou um intervalo real?

  • Use o «complementar»: \(P(X>0) = 1 - P( ? )\)

  • Neste exercício não é necessário mas pode usar calculadora gráfica.

☞ solução

\(\approx0.1572\)


(c) Calcule \(Var(1-3X)\).

☞ sugestões

Algumas sugestões são:

☞ solução

Resposta: \(27\)


(d) Determine a probabilidade de que num \(cm^3\) de água existam pelo menos 2 bactérias.

☞ sugestões

«Pelo menos 2» deve ser traduzido em \(\ge\) ou \(\le\) ?

  • Temos pelo menos dois dedos.

☞ solução

\(\approx0.8009\)


(e) Indique, justificando, o valor lógico da seguinte afirmação:

O número de bactérias de um certo tipo existentes em 2 \(cm^3\) de
água é modelado pela v.a. \(Y=2X\).

☞ sugestões

O número de bactérias é sempre igual nos dois \(cm^3\) ? Ou cada \(cm^3\) é representado por uma diferente variável aleatória?

☞ solução

Pode ser Y=X1+X2 (mas nunca Y=2X!).

Proposição Falsa.


(f) Qual a probabilidade de que numa amostra de dois \(cm^3\) de água existam quanto muito 3 bactérias?

☞ sugestões

Numa representação simplista, cada \(cm^3\) pode ser visto como uma unidade independente. Assim a representação de «2 \(cm^3\)» é: \(X_1 + X_2\), isto é, uma v.a. para cada \(cm^3\).

A expressão «quanto muito» é \(\ge\) ou \(\le\)? Por exemplo, quanto muito faltam 5 dias para as férias.

Qual a distribuição de \(X_1 + X_2\)? Consulte as propriedades da Poisson.

☞ solução

\(\approx0.1512\)


(g) São recolhidas ao acaso 5 amostras de 1 \(cm^3\) de água. Qual a probabilidade de existir pelo menos uma bactéria em cada uma das 5 amostras?

☞ sugestões

  • estude os exemplos;

  • definição do sucesso: Conterá a «amostra 1» mais que 1 bactéria? Conterá a «amostra 2» mais que 1 bactéria? … Conterá a «amostra 5» mais que 1 bactéria?

Considere a v.a. W=»número de amostras de 1 \(cm^3\) com pelo menos 1 bactéria no conjunto das 5 amostras».

  • O que pode ser o «sucesso» na v.a. W?

  • Qual a probabilidade desse sucesso? (use a calculadora)

  • Quantas amostras independentes são analisadas?

Assim, qual a distribuição da v.a. ? Será distribuição binomial? distribuição de Poisson?

☞ proposta de resolução

W segue Binomial(n=5, p=P(X >= 1)) em que X ~ Poisson(\(\lambda=3\))

Resposta: \(\approx0.7746\)

Os algarismos da resposta podem variar consoante as casas decimais usadas para «p». Por exemplo, na linguagem R tem-se

> 1 - ppois(0,3)   #Valor de "p" = P(X>=1) = 1 - P(X<=0)
[1] 0.9502129

e, neste exercício, o resultado varia com os algarismos usados:

> dbinom(5, 5, 0.9502129)  #Muitas casas decimais
[1] 0.7746484
> dbinom(5, 5, 0.95)       #Apenas casas decimais
[1] 0.7737809

Uma regra não rígida é usar mais 2 casas decimais que as exigidas num resultado. Porém, deve existir capacidade crítica para as situações numéricas.


FIM