ex. 2.5 (*)

Admita que o número de peixes que, por hora, são pescados por uma pessoa segue uma distribuição de Poisson com média de 1.8.

Determine a probabilidade de,

(a) numa hora, o António não pescar nenhum peixe;

sugestões

Esta alínea deve ser resolvida sem calculadora e depois com calculadora.

A reflectir:

  • Qual é a função massa de probabilidade de uma distribuição de Poisson?

  • Qual o parâmetro que caracteriza uma distribuição de Poisson do exercício?

  • O que está a ser contado?

  • Qual a unidade de tempo?

proposta de resolução

Trata-se de uma v.a. de contagem por unidade de tempo, e muitas vezes, o cálculo de probabilidade pode ser feito com uma distribuição de Poisson.

A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é

\[f(x)=P(X=x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}, \,\, x=0,1,2,\ldots\]

que também se pode representar por \(X \sim Poisson(\lambda)\).

O parâmetro \(\lambda\) tem este significado.

Assim, o seu valor é \(\lambda=1.8\).

Então, não pescar nenhum peixe é

  • \(P(X=0) = e^{-1.8} \frac{1.8^0}{0!} = e^{-1.8} \approx 0.1653\)

Instruções nas calculadoras: texas TI 84, texas TI Nspire CX, casio FX 9860gii ou casio FX CG 20.

No caso do Excel, =dist.poisson(0,1.8, Falso) em que Falso designa P(X=0).

Resposta: 0.1653


(b) numa hora, o António pescar pelo menos quatro peixes;

sugestões

A expressão «pescar pelo menos quatro peixes» pode ser traduzido por:

  • \(X \ge 4\)

  • \(4 \le X < \infty\)

  • nas calculadoras usa-se \(4 \le X < 1e10\) com perda residual de probabilidade

Note ainda que o melhor método é:

  • \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\) (porquê 3?)

Com uma calculadora sem funções estatísticas:

  • \(P(X \ge 4) = 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \right)\)

proposta de resolução

Consulte como determinar probabilidades em intervalos procurando a sua calculadora em:

No caso do Excel, =1-dist.poisson(3, 1.8, Verdadeiro) em que Verdadeiro designa P(X<=3).

Resposta: 0.1087


(c) em duas horas, o António pescar entre 6 a 8 peixes.

sugestões

proposta de resolução

O número de peixes pescados em cada hora (1ª hora e 2ª hora) é diferente e então \(X_1\) e \(X_2\) representam essas quantidades aleatórias. Então, o total de peixes é uma v.a. \(Y=X_1+X_2\). A propriedade explicada em soma de v.a. de Poisson diz que

\[Y=X_1+X_2 \sim \text{Poisson}(1.8+1.8)\]

porque 1.8 é a média do número de peixes em cada hora. Em duas horas, em média, são pescados 3.6 peixes.

Nas calculadoras com «lower e upper» é direto. Nas outras, e no excel, aplica-se:

\[P(6 \le X_1+X_2 \le 8) = P(X \le 8) - P(X \le 5)\quad \text{atenção ao 5}\]

isto é, retira-se a probabilidade acumulada do 5 para trás pois só se deseja 6 ou mais. Esta propriedade só existe nas distribuições discretas

No caso do Excel será:

=DIST.POISSON(8;3,6;VERDADEIRO) - DIST.POISSON(5;3,6;VERDADEIRO)

em que Verdadeiro designa «<=». Novmente, atenção que é «5» e não «6»!

Resposta: 0.1442


FIM