ex. 2.5 (*)

Admita que o número de peixes que, por hora, são pescados por uma pessoa segue uma distribuição de Poisson com média de 1.8.

Determine a probabilidade de,

(a) numa hora, o António não pescar nenhum peixe;

☞ sugestões

Esta alínea deve ser resolvida sem calculadora e depois com calculadora.

A reflectir:

• Qual é a função massa de probabilidade de uma distribuição de Poisson?

• Qual o parâmetro que caracteriza uma distribuição de Poisson do exercício?

• O que está a ser contado?

• Qual a unidade de tempo?

☞ proposta de resolução

Trata-se de uma v.a. de contagem por unidade de tempo, e muitas vezes, o cálculo de probabilidade pode ser feito com uma distribuição de Poisson.

A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é

$$f(x)=P(X=x)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^x}{x!}, \,\, x=0,1,2,\ldots$$

que também se pode representar por $X \sim Poisson(\lambda)$.

O parâmetro $\lambda$ tem este significado.

Assim, o seu valor é $\lambda=1.8$.

Então, não pescar nenhum peixe é

• $P(X=0) = e^{-1.8} \frac{1.8^0}{0!} = e^{-1.8} \approx 0.1653$

Instruções nas calculadoras: texas TI 84, texas TI Nspire CX, casio FX 9860gii ou casio FX CG 20.

No caso do Excel, =dist.poisson(0,1.8, Falso) em que Falso designa P(X=0).

Resposta: 0.1653

(b) numa hora, o António pescar pelo menos quatro peixes;

☞ sugestões

A expressão «pescar pelo menos quatro peixes» pode ser traduzido por:

• $X \ge 4$

• $4 \le X < \infty$

• nas calculadoras usa-se $4 \le X < 1e10$ com perda residual de probabilidade

Note ainda que o melhor método é:

• $P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)$ (porquê 3?)

Com uma calculadora sem funções estatísticas:

• $P(X \ge 4) = 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \right)$

☞ proposta de resolução

Consulte como determinar probabilidades em intervalos procurando a sua calculadora em:

• distribuição de Poisson

• propriedades para a v.a. discreta

No caso do Excel, =1-dist.poisson(3, 1.8, Verdadeiro) em que Verdadeiro designa P(X<=3).

Resposta: 0.1087

(c) em duas horas, o António pescar entre 6 a 8 peixes.

☞ sugestões

Leituras sugeridas:

• soma de v.a. de Poisson

• propriedades para a v.a. discreta

☞ proposta de resolução

O número de peixes pescados em cada hora (1ª hora e 2ª hora) é diferente e então $X_1$ e $X_2$ representam essas quantidades aleatórias. Então, o total de peixes é uma v.a. $Y=X_1+X_2$. A propriedade explicada em soma de v.a. de Poisson diz que

$$Y=X_1+X_2 \sim \text{Poisson}(1.8+1.8)$$

porque 1.8 é a média do número de peixes em cada hora. Em duas horas, em média, são pescados 3.6 peixes.

Nas calculadoras com «lower e upper» é direto. Nas outras, e no excel, aplica-se:

$$P(6 \le X_1+X_2 \le 8) = P(X \le 8) - P(X \le 5)\quad \text{atenção ao 5}$$

isto é, retira-se a probabilidade acumulada do 5 para trás pois só se deseja 6 ou mais. Esta propriedade só existe nas distribuições discretas

No caso do Excel será:

=DIST.POISSON(8;3,6;VERDADEIRO) - DIST.POISSON(5;3,6;VERDADEIRO)

em que Verdadeiro designa «<=». Novmente, atenção que é «5» e não «6»!

Resposta: 0.1442

FIM