ex. 2.5 (*)
Admita que o número de peixes que, por hora, são pescados por uma pessoa segue uma distribuição de Poisson com média de 1.8.
Determine a probabilidade de,
(a) numa hora, o António não pescar nenhum peixe;
☞ sugestões
Esta alínea deve ser resolvida sem calculadora e depois com calculadora.
A reflectir:
Qual é a função massa de probabilidade de uma distribuição de Poisson?
Qual o parâmetro que caracteriza uma distribuição de Poisson do exercício?
O que está a ser contado?
Qual a unidade de tempo?
☞ proposta de resolução
Trata-se de uma v.a. de contagem por unidade de tempo, e muitas vezes, o cálculo de probabilidade pode ser feito com uma distribuição de Poisson.
A função massa de probabilidade da distribuição de Poisson é
que também se pode representar por \(X \sim Poisson(\lambda)\).
O parâmetro \(\lambda\) tem este significado.
Assim, o seu valor é \(\lambda=1.8\).
Então, não pescar nenhum peixe é
\(P(X=0) = e^{-1.8} \frac{1.8^0}{0!} = e^{-1.8} \approx 0.1653\)
Instruções nas calculadoras: texas TI 84, texas TI Nspire CX, casio FX 9860gii ou casio FX CG 20.
No caso do Excel, =dist.poisson(0,1.8, Falso) em que Falso designa P(X=0).
Resposta: 0.1653
(b) numa hora, o António pescar pelo menos quatro peixes;
☞ sugestões
A expressão «pescar pelo menos quatro peixes» pode ser traduzido por:
\(X \ge 4\)
\(4 \le X < \infty\)
nas calculadoras usa-se \(4 \le X < 1e10\) com perda residual de probabilidade
Note ainda que o melhor método é:
\(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\) (porquê 3?)
Com uma calculadora sem funções estatísticas:
\(P(X \ge 4) = 1 - \left( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \right)\)
☞ proposta de resolução
Consulte como determinar probabilidades em intervalos procurando a sua calculadora em:
No caso do Excel, =1-dist.poisson(3, 1.8, Verdadeiro) em que Verdadeiro designa P(X<=3).
Resposta: 0.1087
(c) em duas horas, o António pescar entre 6 a 8 peixes.
☞ sugestões
Leituras sugeridas:
☞ proposta de resolução
O número de peixes pescados em cada hora (1ª hora e 2ª hora) é diferente e então \(X_1\) e \(X_2\) representam essas quantidades aleatórias. Então, o total de peixes é uma v.a. \(Y=X_1+X_2\). A propriedade explicada em soma de v.a. de Poisson diz que
porque 1.8 é a média do número de peixes em cada hora. Em duas horas, em média, são pescados 3.6 peixes.
Nas calculadoras com «lower e upper» é direto. Nas outras, e no excel, aplica-se:
isto é, retira-se a probabilidade acumulada do 5 para trás pois só se deseja 6 ou mais. Esta propriedade só existe nas distribuições discretas
No caso do Excel será:
=DIST.POISSON(8;3,6;VERDADEIRO) - DIST.POISSON(5;3,6;VERDADEIRO)
em que Verdadeiro designa «<=». Novmente, atenção que é «5» e não «6»!
Resposta: 0.1442
FIM