ex. 2.2 (*)

O número médio de aulas de Bioestatística, das 14 previstas, a que um aluno assiste é 10. Admitindo que um aluno assiste a cada aula independentemente das restantes, determine a função massa de probabilidade da variável aleatória X = «número de aulas a que um aluno assiste nas 14» e calcule a probabilidade de um aluno assistir pelo menos a 5 aulas.

☞ sugestões

• A variável aleatória a considerar é X = «número de aulas a que um aluno assiste em 14 previstas».

• O que é o «sucesso» nesta variável?

• Qual o nome da distribuição de probabilidade da variável X?

• Qual a expressão do valor esperado (ou média) da distribuição de X?

Leituras:

• função massa de probabilidade

• distribuição binomial

☞ proposta de resolução

X segue uma distribuição binomial dado que é uma v.a. do tipo «contagem de sucessos em n experiências».

Assim, para calcular probabilidades é necessário conhecer n e p. Quanto é o n? O valor esperado da binomial é \(E[X] = np\), em que p é a probabilidade de sucesso.

Como o enunciado diz que o valor médio é 10 então

\[\begin{split}\begin{align*} E[X] = 10 & \Leftrightarrow np = 10 \\ & \Leftrightarrow 14 p = 10 \\ & \Leftrightarrow p = 10/14 = 5/7 \end{align*}\end{split}\]

A função massa de probabilidade é:

\[f(x)=C^{14}_x (5/7)^x (2/7)^{14-x}\]

e que pode ser representado, de forma mais simples, por \(X \sim B(n=14, p=5/7)\). Veja o significado de «C» na secção combinações.

Na calculadora: \(P(X \ge 5)\) pode ser obtido com

cdf.binomial(lower=5, upper=14, n=14, p=5/7)

ou ainda, sem lower/upper, \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)\) (ver propriedades para a v.a. discreta):

1 - cdf.binomial(4, n=14, p=5/7)

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