ex. 3.28 (*)

A variável aleatória \(X\) representa o álcool (expresso em graus) do vinho produzido anualmente, entregue por um produtor. Considere os dados obtidos nos últimos 10 anos os quais se apresentam a seguir:

10.9	10.6	13.3	11.6	12.9
10.4	11.3	10.3	9.1	8.2

(a) Indique uma estimativa para \(\mu\) (\(\hat\mu\)) e para \(\sigma\) (\(\hat\sigma\)).

☞ sugestões

Consulte estimação pontual para as noções de «estimativa» e «estimador».

☞ proposta de resolução

Para a média populacional (ou valor esperado):

• \(\hat \mu = \bar X\) é um estimador da média populacional pois \(\bar X\) é uma v.a.;

• \(\hat \mu = \bar x=10.86\) é uma estimativa da média populacional.

Para o desvio padrão populacioal (raiz da variância populacional):

• \(\hat \sigma = S_c\) é um estimador do desvio padrão populacional;

• \(\hat \sigma = s_c=1.5\) é uma estimativa do desvio padrão populacional.

Parâmetros do modelo	Estimativa com base na amostra
\(\mu\)	\(\hat \mu = \bar x = 10.86\)
\(\sigma\)	\(\hat \sigma = s_c = 1.55\)
\(\sigma\)	\(\hat \sigma = s = 1.47\)

Prefere-se o estimativa pelo desvio padrão corrigido, \(\hat \sigma = s_c\), especialmente quando as amostras são pequenas.

(b) Teste, ao nível de significância de 1%, se há razões para rejeitar a suposição do biólogo sobre a normalidade de \(X\), indicando qual dos dois testes deverá efetuar: teste de KS com correção de Lilliefors ou teste de Shapiro-Wilk. Justifique a sua resposta.

☞ sugestões

Consultas úteis:

• teste Kolmogorov-Smirnoff com correção Lilliefors

• teste de Shapiro-Wilk

☞ proposta de resolução

O valor-p é maior que o nível de significância 1% e assim não há razão para se rejeitar \(H_0: X \sim \text{Normal}\) (para qualquer um dos testes da tabela) sendo que o teste mais apropriado é o teste de Shapiro-Wilk devido à dimensão da amostra ser pequena (\(n < 30\)).