ex. 3.21 (*)

Dente de tubarão (wikipédia)

Os tubarões são por natureza peixes de água salgada. No entanto, em alguns rios já foram vistos tubarões e várias pessoas foram violentamente agredidas por esses animais. O rio Ganges é um desses rios onde vários indianos foram violentamente agredidos. Dada a raridade destas ocorrências não se sabe qual a espécie que se aventura a subir as águas do rio. Os biólogos acreditam que se trata de uma só espécie mas não sabem ao certo qual. As suspeitas populares incidem sobre o tubarão branco, um animal que atinge os 5 m de comprimento, mas os biólogos têm dúvidas. Sabe-se que quando um tubarão ataca uma presa por vezes deixa cair um ou mais dos seus dentes. Assim, os biólogos procuraram o leito do rio e encontraram 4 dentes de tubarão.

O comprimento médio destes dentes foi de 3.31cm e o respetivo desvio padrão $s_c = 0.2$ cm. Sabendo que os dentes do tubarão branco apresentam um comprimento médio (populacional) de 3.6cm, seria de considerar que estamos perante uma amostra de dentes de tubarão branco? Considere $\alpha=0.05$ e assuma que os dados são normalmente distribuídos.

Comece por obter um IC conveniente.

☞ proposta de resolução

Do enunciado:

X = comprimento de um dente de tubarão

Pretende-se realizar o teste de hipóteses bilateral com base no método do IC:

• H0: $\mu=3.6$ (comprimento médio na população de tubarão branco)

• H1: $\mu \neq 3.6$ (comprimento médio outra espécie)

Com base numa amostra pretende-se decidir * «rejeitar H0 em favor de H1» isto é: os tubarões não são da espécie «tubarão branco» * ou, «não rejeitar H0»: não se rejeita que os tubarões sejam da espécie «tubarão branco».

Dispomos dos seguintes dados para construir o IC:

• «média»: $\mu = 3.6$ cm (valor esperado ou média da distribuição ou média populacional)

• «média»: $\bar x = 3.31$ cm (média amostral)

• desvio padrão corrigido $s_c=0.20$ cm

• n = 4 dentes encontrados na amostra

X segue distribuição normal($\mu$, $\sigma^2$)

• $\sigma^2$ é desconhecido e então usa-se a distribuição t de Student.

• Nas calculadoras: T interval

Assim,

$$\begin{split}\begin{eqnarray*} IC(\mu) & = & [\bar x - t_{1-\alpha/2,n-1} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar x + t_{1-\alpha/2,n-1} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}] \\ & = & [0.51 - 3.182446 \times \frac{0.2}{\sqrt{4}}, 0.51 + 3.182446 \times \frac{0.2}{\sqrt{4}}]\\ & = & [2.991755, 3.628245] \end{eqnarray*}\end{split}$$

Notas:

• $\alpha =0.05$ é o nível de significância do teste de hipóteses

• $1 - \alpha=0.95$ Grau de Confiança do IC

• o quantil da distribuição t de Student é $t_{0.975, 4-1}=3.182446$ (4 dentes na amostra)

> qt(0.975,3)
[1] 3.182446

Conclusão

Como $:\mu=3.6$ pertence ao IC=[2.991755, 3.628245] então não rejeitamos H0, isto é, não rejeitamos a possibilidade de ter sido um ataque de tubarão branco, considerando o nível de significância de 5%, tendo sido usado o método do IC.