ex. 3.6 (*)

Foi recolhida uma amostra de 32 árvores arvores.csv que contém o diâmetro, altura e volume de cada árvore. Para este enunciado considere apenas a amostra de alturas.

A seguir, apresentam-se os resultados obtidos com o recurso ao R.

(a) Indique um intervalo de confiança a 95% para a altura média através da expressão mais apropriada do IC e depois, confirmando atráves da informação exposta, assumindo a normalidade dos dados.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

A variável aleatória é:

X = altura de uma árvore

A expressão «assumindo a normalidade dos dados», no contexto da alínea, é o mesmo que perguntar «Qual a distribuição da v.a. X?»:

X segue $Normal(\mu, \sigma^2)$

Na imagem, no corpo do enunciado, tem-se que:

sd(dadosx) = desvio padrão corrigido da amostra «dadosx», em que «sd» é standard deviation.

Assim, a variância amostral é conhecida calculando «(sd)^2».

Note-se que o parâmetro populacional $\sigma$ não é fornecido no enunciado e portanto, tem-se que usar o «T Interval» (ver teste e intervalo t para a média):

$IC_{95\%} = [\bar x - t_{1-\alpha/2,n-1} \frac{s_c}{n}, \bar x + t_{1-\alpha/2,n-1} \frac{s_c}{n}]$

Nas calculadoras deve procurar-se «INTR» ou «T INTR». Por exemplo, TI84: Stat => Tests => T Interval => depois

LIST: fornecer a amostra (agrupada ou não)
Variable: fornecer $\bar x$ e $s_c$ (desvio corrigido)

Para fazer com recurso à fórmula do IC, para o T Interval,

$\bar x = 75.72$ (ver na imagem onde diz «mean»)
$s_c= sd(dadosx) = 6.486882$ (ver quadro onde diz «sd(dadosx)»)
n = 32

Para obter o quantil $t_{1-\alpha/2,n-1}$ :

n - 1 = 31 graus de liberdade (degrees of freedom)
$1 - \alpha/2= 0.975$
grau de confiança: $1 - \alpha=0.95$
2.5%(esquerda) 95%(centro) 2.5%(direito) = 100%

TPC: com 90% quanto é $1 - \alpha/2$ ?

Com calculadora:

DISTR => inv.t(0.975, 31) = 2.039513

Com R project:

> qt(0.975, 31)
[1] 2.039513

IC( $\mu$ ) = [ 75.72 - 2.039513 * 6.486882 / sqrt(32) , 75.72 + 2.039513 * 6.486882 / sqrt(32) ] = [73.38123, 78.05877]

> 75.72 - 2.039513 * 6.486882 / sqrt(32)
> [1] 73.38123
> 75.72 + 2.039513 * 6.486882 / sqrt(32)
> [1] 78.05877

É aceitável caracterizar a altura de uma árvore com uma média no intervalo [73.38123, 78.05877] com base na mostra dada e grau de confiança 95%.

$IC_{95\%}(\mu) = (73.3800,78.0575)$

(b) Determine um intervalo de confiança a 95% para o desvio padrão da população assumindo a normalidade dos dados.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

Consulte TH e IC do qui-quadrado para a variância
$IC( \sigma ) = \sqrt{ IC(\sigma^2)}$
$\chi^2_n$ família de distribuições do qui quadrado (chi square), que depende do grau de liberdade n (degree of freedom)
$1-\alpha/2$
n-1 identifica qual a distribuição do qui quadrado
n -1 = 31 (pois são 32 árvores na amostra)
$s_c^2= sd^2=6.48682^2$ (variância amostral corrigida)

Para calcular o quantil qui-quadrado consulte distribuição qui quadrado e as notas:

A notação ${\cal X}^2$ é um símbolo como um todo.
$1 - \alpha = 0.95$
$1 - \alpha/2= 0.975$
$\alpha/2=0.025$
O grau de confiança pedido é 95% e então $1 - \alpha=0.95$ . Esta é a probabilidade que é colocada no centro da ${\cal X}^2_{n-1}$ obtendo:
- 2.5%(à esquerda) 95%(ao centro) 2.5%(à direita)

Calculadoras como CASIO CG 20 e a TI nspire:

«qui quadrado» é «CHI SQ» em algumas calculadoras.
inv.chisq(0.025, 31)
inv.chisq(0.975, 31)

A TI 84 não tem e então pode usar-se o Excel para qui-quadrado (ver também excel):

=INV.CHIQ(0,975; 31) e =INV.CHIQ(0,0025; 31)

ou ainda o sistema R, recordando que «q» designa quantil e «chisq» designa «qui quadrado»:

> qchisq(0.025,31)
[1] 17.53874
> qchisq(0.975,31)
[1] 48.23189

$\begin{align}\begin{aligned}IC(\sigma^2) = \left[\frac{(n-1)s_c^2}{48.23189}, \frac{(n-1)s_c^2}{17.53874} \right]=\\= [31 * 6.48682^2 / 48.23189, 31 * 6.48682^2 / 17.53874]\\= [27.04526, 74.375]\end{aligned}\end{align}$

Finalmente, a raiz quadrada, para se obter um IC para o desvio padrão:

$\begin{align}\begin{aligned}IC(\sigma) = [ sqrt(27.04526), sqrt(74.375)] =[5.200506, 8.624094]\\IC_{95\%}(\sigma) = [5.20,8.62]\end{aligned}\end{align}$

(c) Qual o erro padrão (i.e. $s_c/\sqrt{n}$ ) associado à média da amostra?

☞ sugestões

o que representa $s_c$ ? e n?
na tabela no enunciadono R, «sd» quer dizer «desvio padrão corrigido» (Standard Deviation);
basta aplicar a expressão aos dados no enunciado.

☞ solução

$s_c/\sqrt{n} \approx 1.14673$ ;

(d) Através do QQ-plot averigue se pode considerar que os dados são provenientes de uma distribuição normal, validando os IC obtidos nas alíneas anteriores.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

☞ mostrar código R