ex. 2.32 (*)
Resolva as alíneas do exercício que introduzem a construção de um pequeno QQPlot Normal.
Considere que a v.a. X é uma altura (aleatória) com média \(\mu = 1.6\) m e desvio padrão \(\sigma=0.1\) m. Dessa população de alturas foi obtida a pequena amostra: 1.5, 1.56, 1.61, 1.67, 1.76 (em metros).
Nota: apesar de uma v.a. ter média e desvio padrão populacionais nada garante que a distribuição seja a Normal!
(a) Se a v.a. X tiver distribuição Normal \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) então \(Z = (X-\mu)/\sigma\) tem qual distribuição?
☞ solução
De acordo com normal centrada e reduzida, Z terá distribuição N(0,1).
(b) Escreva X como função de Z traçando a relação (z,*x*) que tipo de gráfico se obtém?
☞ solução
\(X = \sigma Z + \mu\). Traçando obtém-se uma reta (no eixo XX será os valores z e no eixo YY os valores xi).
(c) Qual a frequência relativa acumulada (F) de cada valor da amostra?
☞ solução
A dimensão da amostra é 5. Assim,
existe 1 valor igual ou inferior a 1.5: F(1.5)=1/5, ou (20%);
existem 2 valores iguais ou inferiores a 1.56: F(1.56)=2/5, ou (40%);
existem 3 valores iguais ou inferiores a 1.61: F(1.61)=3/5, ou (60%);
existem 4 valores iguais ou inferiores a 1.67: F(1.67)=4/5, ou (80%);
existem 5 valores iguais ou inferiores a 1.76: F(1.76)=5/5 = 1, ou (100%).
(d) Qual o quantil inv.normal(prob=1, media=0, desvio=1)? E qual o quantil inv.normal(prob=0, media=0, desvio=1)?
☞ solução
Considere a distribuição normal padrão Z.
F é uma função de x na probabilidade P(X <=x) (ou frequência relativa acumulada \(F_r\), no caso de amostras).
Resposta: +infinito e - infinito. Se z=+infinito então «F(+infinito) = 1». Se «z=-infinito» então F(-infinito)=0.
(e) Assumindo que \(Z \sim N(0,1)\), i.e., \(z_i = \text{inv.normal}(p_i, \mu=0, \sigma=1)\) preencha a tabela:
quantidade |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
notas |
X |
1.5 |
1.56 |
1.61 |
1.67 |
1.76 |
Ver (1) |
F |
1/5 (20%) |
2/5 (40%) |
3/5 (60%) |
4/5 (80%) |
5/5 (100%) |
Ver (2) |
F corr |
15% |
35% |
55% |
75% |
95% |
Ver (3) |
Z |
Ver (4) |
Valores amostrais ordenados.
Frequência relativa acumulada.
Para evitar um quantil +infinito faz-se uma «correção empírica»: subtrai-se 5%.
Calculam-se os quantis Z (um quantil é «um valor atrás do qual há uma dada probabilidade»).
☞ solução
Resposta:
quantidade |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
X |
1.5 |
1.56 |
1.61 |
1.67 |
1.76 |
Ver (1) |
F |
1/5 (20%) |
2/5 (40%) |
3/5 (60%) |
4/5 (80%) |
5/5 (100%) |
Ver (2) |
F corr |
15% |
35% |
55% |
75% |
95% |
Ver (3) |
Z (zi) |
-1.04 |
-0.39 |
0.13 |
0.67 |
1.64 |
Ver (4) |
sendo inv.normal(0.15, 0, 1) = -1.04, etc. São os quantis de \(Z \sim N(0,1)\).
(f) Esboce o «QQPlot Normal» com os pontos (xi,zi) obtidos. Os pontos estão próximos a uma reta? O que pode concluir?
☞ solução
Os pontos quase formam uma reta sugerindo que os valores amostrais X podem ser bem modelados por uma distribuição Normal.
No entanto, por serem poucos pontos devem ser adequirida mais informação.