ex. 2.32 (*)

Resolva as alíneas do exercício que introduzem a construção de um pequeno QQPlot Normal.

Considere que a v.a. X é uma altura (aleatória) com média \(\mu = 1.6\) m e desvio padrão \(\sigma=0.1\) m. Dessa população de alturas foi obtida a pequena amostra: 1.5, 1.56, 1.61, 1.67, 1.76 (em metros).

Nota: apesar de uma v.a. ter média e desvio padrão populacionais nada garante que a distribuição seja a Normal!


(a) Se a v.a. X tiver distribuição Normal \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) então \(Z = (X-\mu)/\sigma\) tem qual distribuição?

solução

De acordo com normal centrada e reduzida, Z terá distribuição N(0,1).


(b) Escreva X como função de Z traçando a relação (z,*x*) que tipo de gráfico se obtém?

solução

\(X = \sigma Z + \mu\). Traçando obtém-se uma reta (no eixo XX será os valores z e no eixo YY os valores xi).


(c) Qual a frequência relativa acumulada (F) de cada valor da amostra?

solução

A dimensão da amostra é 5. Assim,

  • existe 1 valor igual ou inferior a 1.5: F(1.5)=1/5, ou (20%);

  • existem 2 valores iguais ou inferiores a 1.56: F(1.56)=2/5, ou (40%);

  • existem 3 valores iguais ou inferiores a 1.61: F(1.61)=3/5, ou (60%);

  • existem 4 valores iguais ou inferiores a 1.67: F(1.67)=4/5, ou (80%);

  • existem 5 valores iguais ou inferiores a 1.76: F(1.76)=5/5 = 1, ou (100%).


(d) Qual o quantil inv.normal(prob=1, media=0, desvio=1)? E qual o quantil inv.normal(prob=0, media=0, desvio=1)?

solução

Considere a distribuição normal padrão Z.

  • F é uma função de x na probabilidade P(X <=x) (ou frequência relativa acumulada \(F_r\), no caso de amostras).

Resposta: +infinito e - infinito. Se z=+infinito então «F(+infinito) = 1». Se «z=-infinito» então F(-infinito)=0.


(e) Assumindo que \(Z \sim N(0,1)\), i.e., \(z_i = \text{inv.normal}(p_i, \mu=0, \sigma=1)\) preencha a tabela:

quantidade

x1

x2

x3

x4

x5

notas

X

1.5

1.56

1.61

1.67

1.76

Ver (1)

F

1/5 (20%)

2/5 (40%)

3/5 (60%)

4/5 (80%)

5/5 (100%)

Ver (2)

F corr

15%

35%

55%

75%

95%

Ver (3)

Z

Ver (4)

  1. Valores amostrais ordenados.

  2. Frequência relativa acumulada.

  3. Para evitar um quantil +infinito faz-se uma «correção empírica»: subtrai-se 5%.

  4. Calculam-se os quantis Z (um quantil é «um valor atrás do qual há uma dada probabilidade»).

solução

Resposta:

quantidade

x1

x2

x3

x4

x5

X

1.5

1.56

1.61

1.67

1.76

Ver (1)

F

1/5 (20%)

2/5 (40%)

3/5 (60%)

4/5 (80%)

5/5 (100%)

Ver (2)

F corr

15%

35%

55%

75%

95%

Ver (3)

Z (zi)

-1.04

-0.39

0.13

0.67

1.64

Ver (4)

sendo inv.normal(0.15, 0, 1) = -1.04, etc. São os quantis de \(Z \sim N(0,1)\).


(f) Esboce o «QQPlot Normal» com os pontos (xi,zi) obtidos. Os pontos estão próximos a uma reta? O que pode concluir?

solução

Os pontos quase formam uma reta sugerindo que os valores amostrais X podem ser bem modelados por uma distribuição Normal.

No entanto, por serem poucos pontos devem ser adequirida mais informação.