ex. 2.32 (*)

Resolva as alíneas do exercício que introduzem a construção de um pequeno QQPlot Normal.

Considere que a v.a. X é uma altura (aleatória) com média $\mu = 1.6$ m e desvio padrão $\sigma=0.1$ m. Dessa população de alturas foi obtida a pequena amostra: 1.5, 1.56, 1.61, 1.67, 1.76 (em metros).

Nota: apesar de uma v.a. ter média e desvio padrão populacionais nada garante que a distribuição seja a Normal!

(a) Se a v.a. X tiver distribuição Normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ então $Z = (X-\mu)/\sigma$ tem qual distribuição?

☞ solução

De acordo com normal centrada e reduzida, Z terá distribuição N(0,1).

(b) Escreva X como função de Z traçando a relação (z,*x*) que tipo de gráfico se obtém?

☞ solução

$X = \sigma Z + \mu$. Traçando obtém-se uma reta (no eixo XX será os valores z e no eixo YY os valores xi).

(c) Qual a frequência relativa acumulada (F) de cada valor da amostra?

☞ solução

A dimensão da amostra é 5. Assim,

• existe 1 valor igual ou inferior a 1.5: F(1.5)=1/5, ou (20%);

• existem 2 valores iguais ou inferiores a 1.56: F(1.56)=2/5, ou (40%);

• existem 3 valores iguais ou inferiores a 1.61: F(1.61)=3/5, ou (60%);

• existem 4 valores iguais ou inferiores a 1.67: F(1.67)=4/5, ou (80%);

• existem 5 valores iguais ou inferiores a 1.76: F(1.76)=5/5 = 1, ou (100%).

(d) Qual o quantil inv.normal(prob=1, media=0, desvio=1)? E qual o quantil inv.normal(prob=0, media=0, desvio=1)?

☞ solução

Considere a distribuição normal padrão Z.

• F é uma função de x na probabilidade P(X <=x) (ou frequência relativa acumulada $F_r$, no caso de amostras).

Resposta: +infinito e - infinito. Se z=+infinito então «F(+infinito) = 1». Se «z=-infinito» então F(-infinito)=0.

(e) Assumindo que $Z \sim N(0,1)$, i.e., $z_i = \text{inv.normal}(p_i, \mu=0, \sigma=1)$ preencha a tabela:

quantidade	x1	x2	x3	x4	x5	notas
X	1.5	1.56	1.61	1.67	1.76	Ver (1)
F	1/5 (20%)	2/5 (40%)	3/5 (60%)	4/5 (80%)	5/5 (100%)	Ver (2)
F corr	15%	35%	55%	75%	95%	Ver (3)
Z						Ver (4)

1. Valores amostrais ordenados.

2. Frequência relativa acumulada.

3. Para evitar um quantil +infinito faz-se uma «correção empírica»: subtrai-se 5%.

4. Calculam-se os quantis Z (um quantil é «um valor atrás do qual há uma dada probabilidade»).

☞ solução

Resposta:

quantidade	x1	x2	x3	x4	x5
X	1.5	1.56	1.61	1.67	1.76	Ver (1)
F	1/5 (20%)	2/5 (40%)	3/5 (60%)	4/5 (80%)	5/5 (100%)	Ver (2)
F corr	15%	35%	55%	75%	95%	Ver (3)
Z (zi)	-1.04	-0.39	0.13	0.67	1.64	Ver (4)

sendo inv.normal(0.15, 0, 1) = -1.04, etc. São os quantis de $Z \sim N(0,1)$.

(f) Esboce o «QQPlot Normal» com os pontos (xi,zi) obtidos. Os pontos estão próximos a uma reta? O que pode concluir?

☞ solução

Os pontos quase formam uma reta sugerindo que os valores amostrais X podem ser bem modelados por uma distribuição Normal.

No entanto, por serem poucos pontos devem ser adequirida mais informação.