Ex 2.28 (*)

Nas condições de cada alínea, determine as seguintes quantidades

1. P(X=4)

2. P(X >= 2)

recorrendo

1. à expressão da função massa de probabilidade;

2. ao excel, calculadora gráfica ou R index.

(a) Sabe-se que a probabilidade de um rato de laboratório sobreviver num determinado tipo experiência é 0.2. Foram adquiridos 10 ratos. Pretende-se estudar o número de ratos que poderão sobreviver.

☞ sugestões

• distribuição binomial

☞ proposta de resolução

Seja X ~ B(n=10, p=0.2).

1. P(X=4) = 0.088

   • 1. 10!/((10-4)! * 4!) * 0.2^4 * (1-0.2)^(10-4)

   • 2. pdf.binom(x=4, trials=10, p=0.2)

Resposta: em 8.8% das experiências laboratoriais com 10 ratos resultam 4 ratos sobreviventes por experiência.

2. P(X>=2) = 0.6241904

   • 1. P(X>=2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X <= 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = …

   • 2. 1 - cdf.binom(x=1, trials=10, p=0.2) – máquinas sem lower/upper

   • 2. cdf.binom(lower=2, upper=10, trials=10, p=0.2)

Resposta: 62.4% é a probabilidade de, nas experiências laboratoriais com 10 ratos, 2 ou mais ratos sobreviveram à experiência.

(b) Seja X = número de bactérias em 1 cm3 sendo esta v.a. bem modelada por uma distribuição de Poisson de parâmetro 3. Qual a média e variância populacionais?

☞ sugestões

• distribuição de Poisson

☞ proposta de resolução

Seja X ~ Poisson(lambda=3).

Assim, sabe-se que E[X] = 3 e Var[X]=3.

1. P(X=4) = 0.1680314

   • 1. exp(-3) * 3^4 / 4!

   • 2. pdf.poisson(x=4, lambda=3)

Resposta: 16.8% é a probabilidade de existirem 4 bactérias por cm3.

2. P(X>=2) = 0.8008517

   • 1. P(X>=2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X <= 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) = …

   • 2. 1 - cdf.poisson(x=1, lambda=3) - máquinas sem lower/upper

   • 2. 1 - cdf.poisson(lower=0, upper=1, lambda=3) - máquinas com lower/upper

   • 2. cdf.poisson(lower=2, upper=10E10, lambda=3) - máquinas com lower/upper

Resposta: 80% é a probabilidade de existirem 2 ou mais bactérias por cm3.