ex. 2.19 (*)

De estudo recentes sabe-se que o número médio em que o site da UA é acedido por hora, em período de aulas, é igual a 2500 com desvio padrão igual a 50. Encontre um valor aproximado para a probabilidade de, num período de 50 horas (letivas), se observarem, no máximo, 127000 acessos ao site da UA.

(Note-se que na aplicação do TLC à soma de v.a. discretas deve ser sempre feita a correção à continuidade.)

☞ sugestões

  • O que descreve a v.a. X? X = «…..»

Leituras:

  • No enunciado do exercício, a expressão «número médio» refere-se à média populacional pois é um valor concreto.

  • O teorema do limite central é a base deste enunciado.

  • A função de distribuição de X é distribuição genérica porque nada é dito no enunciado sobre ela.

  • Cada hora, na frase, «num período de 50 horas (letivas)» deve ser vista como uma v.a. discreta. Assim 50 horas é a soma de 50 variáveis aleatórias.

  • v.a. discreta quer, quase sempre, dizer que é uma contagem, números inteiros.

Formulário (como explicado no TLC):

\[X_1+X_2+\ldots+X_n \sim_{approx} N( n \times \mu, n \times \sigma^2)\]

calculadora gráfica

☞ proposta de resolução

X = «número de de acessos por hora»

  • média populacional (ou valor esperado): \(\mu_X\) = 2500;

  • desvio padrão populacional: \(\sigma_X=50\)

Um período de 50 horas lectivas (aleatório) é modelado por: \(Y=X_1+X_2+\cdots+X_{50}\)

Usando o TLC

\[Y \sim_{aprox} Normal(\mu_Y = 50 \times 2500, \sigma_Y^2 = 50 \times 50^2)\]

Porque estamos a converter uma v.a. textbf{discreta} a uma textbf{contínua} então devemos fazer correção à continuidade:

\[\text{Y é v.a. discreta} \rightarrow P(Y \le 127000) \approx P(Y \le 127000.5) \leftarrow \text{agora como v.a. contínua}\]

Assim,

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} P(Y \le 127000.5) & = & \texttt{normalCDF}(lower=-\infty, upper=127000.5, \mu=50 \times 2500, \sigma=\sqrt{50 \times 50^2} ) \\ & \approx & 1 \end{eqnarray*}\end{split}\]

Resposta: aproximadamente 1 (comentário: neste caso, a correção à continuidade pouco influenciou o resultado).


FIM