ex. 2.11 (*)

Uma máquina é usada para encher sacos de ameijoas. O peso (em kg) de cada saco tem distribuição normal de valor médio 1.03 e desvio-padrão 0.10.

☞ sugestões

Estude a distribuição normal e responda ao seguinte:

• Qual a v.a.? X = …..

• Para calcular uma probabilidade é necessária uma função distribuição. Qual o nome desta? Qual é o símbolo usado para 1.03kg? Qual é o símbolo usado para 0.10kg? O que representam estas quantidades?

(a) Determine a proporção de sacos com peso inferior a 1kg.

☞ sugestões

• a palavra «proporção» indica o cálculo de uma probabilidade.

• Use a sua calculadora gráfica procurando a distribuição normal.

Se não tem calculadora, consulte a secção normal centrada e reduzida, ou use o excel.

☞ proposta de resolução

cdfnormal(lower=-10^10, upper=1, média=1.03, desvio=0.10)

$\approx 0.382$

(b) Os sacos são agrupados em lotes de 20 sacos e cada lote é então pesado, sendo rejeitado se pesar menos que 20.1kg. Determine a probabilidade de um lote ser rejeitado.

☞ sugestões

• Um lote aleatório é uma soma de pesos aleatórios: $Y=X_1 + \cdots + X_{20}$

• Uma propriedade da distribuição normal aplica-se a: soma de várias v.a. normais, ou veja a distribuição da soma de normais.

• Como formalizar $P( \text{um lote ser rejeitado} ) = P( Y \ldots)$ ?

• Compreendendo o que há fazer, use a sua calculadora gráfica com cuidado nos parâmetros pois só se usa o desvio padrão nas calculadoras.

Se não tem calculadora, consulte a secção normal centrada e reduzida ou use o excel.

☞ proposta de resolução

O peso de um lote (aleatório) é representado por uma v.a. $Y=X_1 + \cdots + X_{20}$. A soma de normais é uma normal e então $Y \sim \text{Normal}(20 \times 1.03, 20 \times 0.1^2)$, isto é, somam-se as médias e somam-se as variâncias (nunca se somam os desvio-padrão):

Deseja-se $P(Y < 20.1)$, i.e., P(lote ser rejeitado). Então:

::

cdfnormal(lower=-10^10, upper=20.1, média=20*1.03, desvio=sqrt(20*0.1^2))

Resposta: 0.13

FIM