ex. 4.4

Com o intuito de estudar a influência da temperatura ambiente na capacidade de trabalho das pessoas, 80 estudantes universitários foram divididos em 4 grupos equilibrados que foram sujeitos a 4 temperaturas seleccionadas ao acaso. Cada aluno teve de responder a um conjunto de 150 questões simples tendo sido contabilizado o número de respostas correctas. Os dados obtidos encontram-se no ficheiro respostas.csv.

Com esse conjunto de dados foram construídos os gráficos e tabelas que se seguem:

(a) Comente as seguintes caixas de bigodes comparativas.

☞ sugestões

• anova a 1 fator de efeitos aleatórios

☞ solução

O gráfico sugere que a temperatura influencia a capacidade de trabalho; particularmente as temperaturas intermédias (as duas do meio), parecem sugerir maior capacidade de trabalho.

(b) Comente os gráficos de quantis dos diferentes grupos, avalie a possibilidade de efectuar uma ANOVA paramétrica.

☞ sugestões

• Consulte os pressupostos (conceitos) de uma ANOVA paramétrica.

☞ solução

Não parece haver motivo para rejeitar a normalidade das observações em cada um dos grupos, devido à proximidade dos pontos relativamente às rectas.

Não se dispõe de informação acerca da homogeneidade de variâncias que é outro pressuposto que deve ser verificado.

(c) Foi realizada uma ANOVA de efeitos aleatórios. Com recurso ao R obteve-se: ($\alpha=0.05$)

Com base na informação dada responda às sub-alíneas:

☞ sugestões

• procedimento

(c-i) Escreva as hipóteses em teste.

☞ solução

A resposta precisa é:

• $H_0: \sigma_\tau^2=0$ vs $H_1: \sigma_\tau^2 \neq 0$

que diz que se a variância :math:` sigma_tau^2`, de $\tau_i$, não é significativa então $\tau_i \approx 0.0$ e as médias de cada grupo não serão significativamente diferentes:

• $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$

pois $Y_{ij} = \mu + \tau_i \approx \mu$.

(c-ii) Registe o valor da estatística de teste.

☞ sugestões

A estatística de teste, $F_{obs}$, está no coração da:

• análise de variância (anova)

☞ solução

$$F_{obs} = \frac{MS_G}{MS_E} = \frac{4331}{388} = 11.17$

(c-iii) Registe o valor-p do teste.

☞ sugestões

• p-value=CDF.F( 11.17, +infinito, df1=3, df2=76)

☞ solução

p-value=:math:3.7x10^{-6} approx 0.0

(c-iv) Tome a decisão do teste e conclua no contexto do problema.

☞ solução

Como $p<0.05$, rejeita-se $H_0$, i.e., conclui-se que a temperatura ambiente influi significativamente na capacidade de trabalho, em média (tal como era sugerido pelo gráfico da caixa-de-bigodes)

Outras frases análogas:

• existe pelo menos uma performance média, de uma sala a uma da temperatura, que é significativamente diferente das outras

• a variabilidade média causada pela escolha da temperatura é significativa.

(d) No caso de concluir que a temperatura influencia a capacidade de trabalho, forneça uma estimativa da variância, :math:´sigma_{tau}^2`.

☞ sugestões

Os conceitos são:

• $\tau_i \sim N(0, \sigma^2_\tau)$;

• $\tau_i$ são desvios face à média comum (no caso de «efeitos aleatórios», $\tau_i$ é uma v.a.);

• o teste já indicou que a variância $\sigma^2_\tau$ é significativa, i.e., há influência significativa da temperatura.

☞ solução

$\hat{\sigma}_\tau^2=\frac{MS_G-MS_E}{n}= \frac{4331 - 388}{20} = 197.1384$

Nota: $MS_G$ é «mean square of groups» e $MQ_G$ é «média de quadrados dos grupos».