anova 1f de efeitos aleatórios
Nesta forma de experiência de comparação de médias, os grupos são definidos aleatoriamente:
na anova a 1 fator os grupos são pré determinados e permanecem os mesmos caso a experiência se repita; por exemplo uma cultura em 3 locais geográficos;
numa anova de efeitos aleatórios, os grupos não são pré determinados e variam caso a experiência se repita; por exemplo, culturas em estufa em que a temperatura é sorteada aleatoriamente cada vez que a experiência anova se repete.
exemplo
Para avaliar o efeito da temperatura (X, variável independente) no crescimento (Y, variável dependente) de um fungo, foram recolhidos 300 exemplares da espécie e distribuídos ao acaso por 6 grupos (níveis). Cada grupo foi submetido durante um mês a uma temperatura constante. A temperatura atribuída a cada grupo foi escolhida aleatoriamente num determinado intervalo pré-definido:
Crescimento = função (Temperatura)
A conjetura a testar é:
A temperatura tem efeito no crescimento do fungo.
A imagem mostra que, nesta experiência, a seleção aleatória de temperaturas foi 15, 18, 22, 24, 25 e 26 graus centígrados
Caso a experiência se repetisse, a seleção aleatória de temperaturas seria diferente. Por exemplo, 11, 20, 23, 24, 28 e 30 graus centígrados. Ou seja, não existe a noção de «grupo 1», …, «grupo 6» fixos.
modelo matemático
O modelo tem duas variáveis aleatórias, \(\tau\) e \(\epsilon\) («tau e epsilon»),
Como na anova a 1 fator,
o erro capta a variabilidade natural dos fenómenos:
\(\tau_i\) representa um desvio face a uma hipotética média populacional comum (\(\mu\)) só que agora \(\tau_i\) é uma variável aleatória e por isso sujeita a variabilidade (medida pela variância \(\sigma^2_\tau\)):
Recordando, os grupos dependem de um fator que produz diferentes tratamentos/grupos/níveis de forma aleatória, por exemplo uma temperatura sorteada, uma dosagem sorteada. Como se podem ter diferentes grupos (por exemplo, diferentes temperaturas) seria mais difícil comparar médias populacionais desses grupos pois são aleatórios.
Assim, o teste de hipóteses recai sobre a v.a. \(\tau_i\) do modelo acima. Esta v.a., centrada em 0, tem variância \(\sigma^2_\tau\) que dita se o fator impõe muita ou pouca variabilidade nas observações \(Y_{ij}\).
Por exemplo, com \(\sigma^2_\tau = 100\) podemos facilmente ter valores de \(\tau\) como 4, -4, 6, 12, 2, etc, consoante o tratamento/nível/grupo aleatório. Estes valores indicam que a obsrvação Y pode ser da forma: \(Y = \mu + 4 + \epsilon\), ou \(Y = \mu + (-11) + \epsilon\), etc. Deste modo Y é bem afetado pelo fator aleatório.
Em outra situação, com \(\sigma^2_\tau = 0.0001\) (desvio-padrão 0.01) podemos facilmente ter valores de \(\tau\) como 0.005, 0.01, -0.002, etc. Assim, as observações Y seria pouco afetadas pelo fator aleatório.
Na anova de efeitos aleatórios, o teste de hipóteses é então:
H0: \(\sigma^2_\tau = 0\) vs H1: \(\sigma^2_\tau \neq 0\)
e uma estimativa deste parâmetro é:
A tabela da anova é a mesma tal como apresentado em anova a 1 fator.
Esta análise é extensível a outras anovas com efeitos aleatórios.