ex. 3.36 (*)

Numa determinada região foi recolhida uma amostra aleatória de 300 fetos dos quais 25 estavam infetados com um tipo de parasita. Teste se a proporção de fetos infetados é superior a 5%.

Sugestão: no sentido de melhor assimilar os diferentes procedimentos para realização dos testes de hipóteses apresente as várias alternativas de resolução.

(a) Identifique os dados amostrais e a população.

☞ sugestões

O assunto do exercício é tratado «inferência sobre proporções» e lá podem ser encontrados conceitos e notação referentes ao exercício.

☞ proposta de resolução

população (i.e., o «modelo matemático»)

\(X_i = 1\) se o feto está infetado (indicando «sucesso»);
\(X_i = 0\) se o feto não está infetado (indicando «insucesso»);
\(X=X_1+\cdots+X_n\): o total de fetos infetados;
\(p=P(\text{sucesso})\): proporção populacional de «sucessos» (este parâmetro não é mencionado no enunciado).

medidas amostrais (i.e., aquilo que se obtém numa «saída de campo»)

\(n=300\): «foi recolhida uma amostra de 300 fetos»;
\(x=25\): o total de fetos infetados na amostra é 25.

(b) Identifique o estimador e estimativa da proporção de fetos infetados.

☞ sugestões

As noções gerais de estimador e estimativa podem ser encontradas em estimação pontual.

☞ proposta de resolução

estimador e estimativa para uma proporção

\(\hat p=X/n\): estimador da proporção p de sucessos que corresponde ao «total de sucessos» / «total de casos»;
\(\hat p=x/n=25/300=0.00833\) é a proporção estimada de sucessos (estimativa de p) .

(c) Indique o pressuposto necessário para efetuar um TH para a proporção com base no TLC.

☞ sugestões

O pressuposto principal pode ser encontrado em TH com base no p-value.

☞ proposta de resolução

\(n=300\)

A aplicação do teorema do limite central produz resultados e conclusões aproximadas para \(n \ge 30\). Neste enunciado a amostra tem \(n=300\) fetos que satisfaz o pressuposto de aplicação do TH.

(d) Efetue o teste de hipóteses pedido com base no método do p-value.

☞ sugestões

Seguir as etapas em TH com base no p-value.

☞ proposta de resolução

Especificar a hipóteses H0 e H1

\[H_0\;:\; p = 0.05 \quad vs \quad H_1\;:\; p > 0.05\]

Identificar a estatística de teste

\[Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)\]

sendo

\(\hat p = \frac{X}{n}\) o estimador da proporção populacional p.
em H0 é afirmado que \(p = 0.05\).

Obter o valor da estatística de teste

\(\hat p = \frac{x}{n}=25/300=0.0083\) é a estimativa da proporção populacional p.
\(n=300\)

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} z_{obs} & = & \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \\ & = & \frac{0.083 - 0.05}{\sqrt{0.05(1-0.05)/300}} \\ & = & 2.62 \end{eqnarray*}\end{split}\]

Calcular o p-value (caso do teste unilateral à direita)

com tabelas pode obter-se o resultado com \(\text{p-value} = \Phi(z=2.62)\)
com a calculadora: \(\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(lower=2.62,\; upper=100000,\; mean=0,\; stdev=1)\)
\(\text{p-value} = 0.004\)

Use a calculadora gráfica para verificar o cálculo do p-value com as funções de teste de hipóteses.

Concluir

Sendo \(\alpha=0.05\) então \(\text{p-value} = 0.004 < 0.05\) e assim rejeita-se H0.

Interpretar no contexto do problema em investigação

A proporção de fetos infetados é significativamente maior que 5% considerando o nível de significância \(\alpha=0.05\) e com base na amostra considerada.

(e) Efetue o teste de hipóteses pedido com base no método do região crítica.

☞ sugestões

Seguir as etapas em TH com base na região crítica.

☞ proposta de resolução

Especificar a hipóteses H0 e H1

\[H_0\;:\; p = 0.05 \quad vs \quad H_1\;:\; p > 0.05\]

Identificar a estatística de teste

\[Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)\]

sendo

\(\hat p = \frac{X}{n}\) o estimador da proporção populacional p.
em H0 é afirmado que \(p = 0.05\).

Obter o valor da estatística de teste

\(\hat p = \frac{x}{n}=25/300=0.0083\) é a estimativa da proporção populacional p.
\(n=300\)

\[\begin{split}\begin{eqnarray*} z_{obs} & = & \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \\ & = & \frac{0.083 - 0.05}{\sqrt{0.05(1-0.05)/300}} \\ & = & 2.62 \end{eqnarray*}\end{split}\]

Obter a região crítica

Sendo o teste unilateral à direita e usando a calculadora:

\(z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-0.05,\;0,\; 1)\)
\(z_{critico} = 1.64\)

A região crítica é:

\(RC=]1.64,\; +\infty[\)

Concluir

Como \(z_{obs}=2.62\) pertence à região crítica, \(RC=]1.64,\; +\infty[\), então rejeita-se H0 em favor de H1,

Interpretar no contexto do problema em investigação

A proporção de fetos infetados é significativamente maior que 5% considerando o nível de significância \(\alpha=0.05\) e com base na amostra considerada.

FIM