ex. 3.36 (*)

Numa determinada região foi recolhida uma amostra aleatória de 300 fetos dos quais 25 estavam infetados com um tipo de parasita. Teste se a proporção de fetos infetados é superior a 5%.

Sugestão: no sentido de melhor assimilar os diferentes procedimentos para realização dos testes de hipóteses apresente as várias alternativas de resolução.

(a) Identifique os dados amostrais e a população.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

população (i.e., o «modelo matemático»)

$X_i = 1$ se o feto está infetado (indicando «sucesso»);
$X_i = 0$ se o feto não está infetado (indicando «insucesso»);
$X=X_1+\cdots+X_n$ : o total de fetos infetados;
$p=P(\text{sucesso})$ : proporção populacional de «sucessos» (este parâmetro não é mencionado no enunciado).

medidas amostrais (i.e., aquilo que se obtém numa «saída de campo»)

$n=300$ : «foi recolhida uma amostra de 300 fetos»;
$x=25$ : o total de fetos infetados na amostra é 25.

(b) Identifique o estimador e estimativa da proporção de fetos infetados.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

estimador e estimativa para uma proporção

$\hat p=X/n$ : estimador da proporção p de sucessos que corresponde ao «total de sucessos» / «total de casos»;
$\hat p=x/n=25/300=0.00833$ é a proporção estimada de sucessos (estimativa de p) .

(c) Indique o pressuposto necessário para efetuar um TH para a proporção com base no TLC.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

$n=300$

A aplicação do teorema do limite central produz resultados e conclusões aproximadas para $n \ge 30$ . Neste enunciado a amostra tem $n=300$ fetos que satisfaz o pressuposto de aplicação do TH.

(d) Efetue o teste de hipóteses pedido com base no método do p-value.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

Especificar a hipóteses H0 e H1

$H_0\;:\; p = 0.05 \quad vs \quad H_1\;:\; p > 0.05$

Identificar a estatística de teste

$Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$

sendo

$\hat p = \frac{X}{n}$ o estimador da proporção populacional p.
em H0 é afirmado que $p = 0.05$ .

Obter o valor da estatística de teste

$\hat p = \frac{x}{n}=25/300=0.0083$ é a estimativa da proporção populacional p.
$n=300$

$\begin{split}\begin{eqnarray*} z_{obs} & = & \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \\ & = & \frac{0.083 - 0.05}{\sqrt{0.05(1-0.05)/300}} \\ & = & 2.62 \end{eqnarray*}\end{split}$

Calcular o p-value (caso do teste unilateral à direita)

com tabelas pode obter-se o resultado com $\text{p-value} = \Phi(z=2.62)$
com a calculadora: $\text{p-value} = \text{CDF.Normal}(lower=2.62,\; upper=100000,\; mean=0,\; stdev=1)$
$\text{p-value} = 0.004$

Use a calculadora gráfica para verificar o cálculo do p-value com as funções de teste de hipóteses.

Concluir

Sendo $\alpha=0.05$ então $\text{p-value} = 0.004 < 0.05$ e assim rejeita-se H0.

Interpretar no contexto do problema em investigação

A proporção de fetos infetados é significativamente maior que 5% considerando o nível de significância $\alpha=0.05$ e com base na amostra considerada.

(e) Efetue o teste de hipóteses pedido com base no método do região crítica.

☞ sugestões

☞ proposta de resolução

Especificar a hipóteses H0 e H1

$H_0\;:\; p = 0.05 \quad vs \quad H_1\;:\; p > 0.05$

Identificar a estatística de teste

$Z = \frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \; | \; H_0 \; \sim_{aprox} N(0,\;1)$

sendo

$\hat p = \frac{X}{n}$ o estimador da proporção populacional p.
em H0 é afirmado que $p = 0.05$ .

Obter o valor da estatística de teste

$\hat p = \frac{x}{n}=25/300=0.0083$ é a estimativa da proporção populacional p.
$n=300$

$\begin{split}\begin{eqnarray*} z_{obs} & = & \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \\ & = & \frac{0.083 - 0.05}{\sqrt{0.05(1-0.05)/300}} \\ & = & 2.62 \end{eqnarray*}\end{split}$

Obter a região crítica

Sendo o teste unilateral à direita e usando a calculadora:

$z_{critico} =\text{INV.Normal}(1-0.05,\;0,\; 1)$
$z_{critico} = 1.64$

A região crítica é:

$RC=]1.64,\; +\infty[$

Concluir

Como $z_{obs}=2.62$ pertence à região crítica, $RC=]1.64,\; +\infty[$ , então rejeita-se H0 em favor de H1,

Interpretar no contexto do problema em investigação

A proporção de fetos infetados é significativamente maior que 5% considerando o nível de significância $\alpha=0.05$ e com base na amostra considerada.

FIM